$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1})$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1})$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}$ に $\frac{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}}$ を掛けて、式を変形します。

\begin{align*}

\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1} &= (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1})\frac{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}} \\

&= \frac{(x+2) - (x+1)}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}} \\

&= \frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}}

\end{align*}

したがって、

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}}$

$x \to \infty$ のとき、$\sqrt{x+2} \to \infty$ かつ $\sqrt{x+1} \to \infty$ なので、$\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1} \to \infty$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}} = 0$

3. 最終的な答え

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