与えられた極限 $\lim_{x\to \infty} (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x)$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた極限

$\lim_{x\to \infty} (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x)$

を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x$に$\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x$を掛けて、分子を有理化する。

すると、

$\frac{(\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x)(\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x)}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x} = \frac{(4x^2 - 3x + 1) - (4x^2)}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x} = \frac{-3x + 1}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x}$

となる。

ここで、分子と分母を$x$で割る。

$\frac{-3x + 1}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x} = \frac{-3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 2}$

$x\to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$、$\frac{1}{x^2} \to 0$ なので、

$\lim_{x\to \infty} \frac{-3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 2} = \frac{-3}{\sqrt{4} - 2} = \frac{-3}{2 - 2} = \frac{-3}{0}$

これは定義できない。

ただし、$x$ が大きいとき $\sqrt{4x^2 - 3x + 1} \approx 2x - \frac{3}{4}$ であることを用いると、

$\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x \approx 4x - \frac{3}{4}$

となり、$x\to\infty$で発散することがわかる。

したがって、極限は存在しない。

しかし、別の考え方で解くことができる。

$\frac{-3x + 1}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x} = \frac{-3x + 1}{\sqrt{4x^2(1 - \frac{3}{4x} + \frac{1}{4x^2})} - 2x} = \frac{-3x + 1}{2x\sqrt{1 - \frac{3}{4x} + \frac{1}{4x^2}} - 2x} = \frac{-3x + 1}{2x(\sqrt{1 - \frac{3}{4x} + \frac{1}{4x^2}} - 1)}$

ここで$\sqrt{1+x} \approx 1+\frac{1}{2}x$ (for small $x$)を用いると、$\sqrt{1 - \frac{3}{4x} + \frac{1}{4x^2}} \approx 1 - \frac{3}{8x} + \frac{1}{8x^2}$ となる。

$\frac{-3x + 1}{2x(\sqrt{1 - \frac{3}{4x} + \frac{1}{4x^2}} - 1)} \approx \frac{-3x + 1}{2x(1 - \frac{3}{8x} + \frac{1}{8x^2} - 1)} = \frac{-3x + 1}{2x(-\frac{3}{8x} + \frac{1}{8x^2})} = \frac{-3x + 1}{-\frac{3}{4} + \frac{1}{4x}}$

$\lim_{x\to\infty} \frac{-3x + 1}{-\frac{3}{4} + \frac{1}{4x}} = \frac{-\infty}{-\frac{3}{4}} = \infty$

別の方法として、

$\sqrt{4x^2 - 3x + 1} = \sqrt{(2x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{16} + 1} = \sqrt{(2x - \frac{3}{4})^2 + \frac{7}{16}}$

$\sqrt{(2x - \frac{3}{4})^2 + \frac{7}{16}} + 2x \approx (2x - \frac{3}{4}) + 2x = 4x - \frac{3}{4}$

したがって、$\lim_{x\to\infty} (4x - \frac{3}{4}) = \infty$

3. 最終的な答え

$\infty$