(1) 放物線 $y = 2x^2 - x$ と直線 $y = 4x - 2$ で囲まれた部分の面積を求めよ。 (2) 関数 $y = x^2 - 3x + 2$ のグラフと、$x$軸、$y$軸で囲まれた2つの部分の面積の和を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = 2x^2 - x$ と直線 $y = 4x - 2$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

(2) 関数 $y = x^2 - 3x + 2$ のグラフと、$x$軸、$y$軸で囲まれた2つの部分の面積の和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $y = 2x^2 - x$ と直線 $y = 4x - 2$ の交点を求める。

$2x^2 - x = 4x - 2$

$2x^2 - 5x + 2 = 0$

$(2x - 1)(x - 2) = 0$

$x = \frac{1}{2}, 2$

$x$ が $\frac{1}{2}$ から $2$ の範囲で、$4x - 2 \ge 2x^2 - x$ であるから、囲まれた部分の面積は

$\int_{\frac{1}{2}}^2 (4x - 2 - (2x^2 - x)) dx = \int_{\frac{1}{2}}^2 (-2x^2 + 5x - 2) dx$

$[-\frac{2}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 2x]_{\frac{1}{2}}^2 = (-\frac{2}{3}(8) + \frac{5}{2}(4) - 4) - (-\frac{2}{3}(\frac{1}{8}) + \frac{5}{2}(\frac{1}{4}) - 1)$

$= -\frac{16}{3} + 10 - 4 + \frac{1}{12} - \frac{5}{8} + 1 = -\frac{16}{3} + 7 + \frac{1}{12} - \frac{5}{8}$

$= \frac{-128 + 168 + 2 - 15}{24} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8}$

(2) $y = x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$

$x$軸との交点は $x = 1, 2$。$y$軸との交点は $y = 2$。

$0 \le x \le 1$ で $y \ge 0$ であり、$1 \le x \le 2$ で $y \le 0$ である。

したがって、面積の和は

$\int_0^1 (x^2 - 3x + 2) dx - \int_1^2 (x^2 - 3x + 2) dx$

$[\frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x]_0^1 - [\frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x]_1^2$

$(\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2) - (0) - ((\frac{8}{3} - \frac{12}{2} + 4) - (\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2))$

$\frac{2 - 9 + 12}{6} - (\frac{8}{3} - 6 + 4 - \frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 2) = \frac{5}{6} - (\frac{7}{3} - 4 + \frac{3}{2})$

$\frac{5}{6} - (\frac{14 - 24 + 9}{6}) = \frac{5}{6} - (-\frac{1}{6}) = \frac{6}{6} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{9}{8}$

(2) $1$