$-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ で定義された関数 $y = \tan^2 \theta + k \tan \theta + 3$ (kは定数) がある。$\theta = \frac{\pi}{4}$ のとき $y = 6 + 2\sqrt{2}$ である。 (1) $k$ の値を求めよ。 (2) $y$ の最小値を求めよ。 (3) $y$ を最小とする $\theta$ の値を $\alpha$ とする。$\tan \alpha$ と $\tan 2\alpha$ の値を求めよ。また、$\alpha$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ で定義された関数 $y = \tan^2 \theta + k \tan \theta + 3$ (kは定数) がある。$\theta = \frac{\pi}{4}$ のとき $y = 6 + 2\sqrt{2}$ である。

(1) $k$ の値を求めよ。

(2) $y$ の最小値を求めよ。

(3) $y$ を最小とする $\theta$ の値を $\alpha$ とする。$\tan \alpha$ と $\tan 2\alpha$ の値を求めよ。また、$\alpha$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\theta = \frac{\pi}{4}$ のとき $y = 6 + 2\sqrt{2}$ であるから、これらを $y = \tan^2 \theta + k \tan \theta + 3$ に代入する。

$\tan \frac{\pi}{4} = 1$ であるから、

$6 + 2\sqrt{2} = 1^2 + k \cdot 1 + 3$

$6 + 2\sqrt{2} = 1 + k + 3$

$k = 6 + 2\sqrt{2} - 4 = 2 + 2\sqrt{2}$

(2) $k = 2 + 2\sqrt{2}$ であるから、$y = \tan^2 \theta + (2 + 2\sqrt{2}) \tan \theta + 3$ となる。

$t = \tan \theta$ とおくと、$y = t^2 + (2 + 2\sqrt{2})t + 3$ となる。

これを平方完成すると、

$y = (t + 1 + \sqrt{2})^2 - (1 + \sqrt{2})^2 + 3 = (t + 1 + \sqrt{2})^2 - (1 + 2\sqrt{2} + 2) + 3 = (t + 1 + \sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2}$

$-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ であるから、$-\infty < t < \infty$ である。

よって、$t = -1 - \sqrt{2}$ のとき、$y$ は最小値 $-2\sqrt{2}$ をとる。

(3) $y$ を最小とする $\theta$ の値を $\alpha$ とすると、$\tan \alpha = -1 - \sqrt{2}$ である。

$\tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} = \frac{2(-1 - \sqrt{2})}{1 - (-1 - \sqrt{2})^2} = \frac{-2 - 2\sqrt{2}}{1 - (1 + 2\sqrt{2} + 2)} = \frac{-2 - 2\sqrt{2}}{1 - 3 - 2\sqrt{2}} = \frac{-2 - 2\sqrt{2}}{-2 - 2\sqrt{2}} = 1$

$\tan 2\alpha = 1$ より、$2\alpha = \frac{\pi}{4} + n\pi$ (nは整数) であるから、$\alpha = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{2}$ となる。

$\tan \alpha = -1 - \sqrt{2} < 0$ より、$\alpha$ は第2象限または第4象限の角である。

$-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より、$-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{2} < \frac{\pi}{2}$

$-\frac{5\pi}{8} < \frac{n\pi}{2} < \frac{3\pi}{8}$

$-\frac{5}{4} < n < \frac{3}{4}$

したがって、$n = -1, 0$

$n = -1$ のとき $\alpha = \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{8}$

$n = 0$ のとき $\alpha = \frac{\pi}{8}$

$\tan \alpha = -1 - \sqrt{2} < 0$ であるから、$\alpha = -\frac{3\pi}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $k = 2 + 2\sqrt{2}$

(2) $y$ の最小値は $-2\sqrt{2}$

(3) $\tan \alpha = -1 - \sqrt{2}$, $\tan 2\alpha = 1$, $\alpha = -\frac{3\pi}{8}$