$\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x)$ を求めます。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x)$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x^2 + 2x} + x$ を変形します。$x \to -\infty$なので、$x < 0$であることに注意します。

$\sqrt{x^2 + 2x} + x = (\sqrt{x^2 + 2x} + x) \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 2x} - x}{\sqrt{x^2 + 2x} - x}$

$= \frac{(x^2 + 2x) - x^2}{\sqrt{x^2 + 2x} - x}$

$= \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} - x}$

ここで、$x < 0$ なので $\sqrt{x^2} = |x| = -x$ であることに注意して、分母の $\sqrt{x^2}$ を $x$ で置き換えます。

$\sqrt{x^2 + 2x} = \sqrt{x^2(1 + \frac{2}{x})} = |x| \sqrt{1 + \frac{2}{x}} = -x \sqrt{1 + \frac{2}{x}}$

よって、

$\frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} - x} = \frac{2x}{-x \sqrt{1 + \frac{2}{x}} - x}$

$= \frac{2x}{-x (\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1)}$

$= \frac{2}{-(\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1)}$

したがって、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{2}{-(\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1)} = \frac{2}{-(\sqrt{1 + 0} + 1)} = \frac{2}{-(1 + 1)} = \frac{2}{-2} = -1$

3. 最終的な答え

-1