極限 $\lim_{x \to \infty} \frac{(2x+1)(3x-1)}{x^2+2x+3}$ を求めよ。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to \infty} \frac{(2x+1)(3x-1)}{x^2+2x+3}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$x \to \infty$のときの極限を求める問題なので、分母と分子をそれぞれ展開し、分母の最高次である$x^2$で割って計算します。

まず、分子を展開します。

$(2x+1)(3x-1) = 6x^2 -2x +3x -1 = 6x^2 +x -1$

次に、与えられた式全体を$x^2$で割ります。

$\frac{(2x+1)(3x-1)}{x^2+2x+3} = \frac{6x^2 +x -1}{x^2+2x+3} = \frac{6 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}}{1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}$

$x \to \infty$のとき$\frac{1}{x} \to 0$、$\frac{1}{x^2} \to 0$となるので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}}{1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}} = \frac{6+0-0}{1+0+0} = \frac{6}{1} = 6$

3. 最終的な答え

6