$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - ax)$ が収束するような $a$ の値と、そのときの極限値を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - ax)$ が収束するような $a$ の値と、そのときの極限値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{4x^2 - 3x + 1}$ の部分を $x$ でくくりだすことを考えます。

$\sqrt{4x^2 - 3x + 1} = \sqrt{x^2(4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2})} = |x|\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}$

$x \to \infty$ なので $x > 0$ より $|x| = x$ 。

よって、

$\sqrt{4x^2 - 3x + 1} = x\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}$

与えられた式は

$\lim_{x \to \infty} (x\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - ax)$

$= \lim_{x \to \infty} x(\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - a)$

この極限が存在するためには、$\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - a$ が $x \to \infty$ で $0$ に収束する必要があります。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}) = \sqrt{4} = 2$

なので、$a = 2$ でなければ、$\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - a$ は 0 以外の値に収束し、全体として発散してしまいます。

したがって、$a = 2$ でなければなりません。

$a = 2$ のとき、

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x)$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x)(\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x)}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 - 3x + 1 - 4x^2}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{-3x + 1}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{x(-3 + \frac{1}{x})}{x(\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} + 2)}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{-3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} + 2}$

$= \frac{-3}{\sqrt{4} + 2} = \frac{-3}{2+2} = -\frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$a = 2$ のとき、極限値は $-\frac{3}{4}$。