与えられた定積分の和を計算する問題です。 積分は次のようになります。 $\int_{-2}^{-1} (5x^2 + 3x + 2) \, dx + \int_{-1}^{2} (5x^2 + 3x + 2) \, dx + \int_{2}^{1} (5x^2 + 3x + 2) \, dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分の和を計算する問題です。

積分は次のようになります。

$\int_{-2}^{-1} (5x^2 + 3x + 2) \, dx + \int_{-1}^{2} (5x^2 + 3x + 2) \, dx + \int_{2}^{1} (5x^2 + 3x + 2) \, dx$

2. 解き方の手順

まず、定積分の性質を利用して積分範囲をまとめます。第3項の積分範囲を反転させると、積分記号の前にマイナスがつきます。

$\int_{-2}^{-1} (5x^2 + 3x + 2) \, dx + \int_{-1}^{2} (5x^2 + 3x + 2) \, dx - \int_{1}^{2} (5x^2 + 3x + 2) \, dx$

次に、積分範囲をまとめます。最初の2つの積分をまとめると、

$\int_{-2}^{2} (5x^2 + 3x + 2) \, dx - \int_{1}^{2} (5x^2 + 3x + 2) \, dx$

さらに、

$\int_{-2}^{1} (5x^2 + 3x + 2) \, dx$

次に、不定積分を計算します。

$\int (5x^2 + 3x + 2) \, dx = \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 2x + C$

この結果を用いて定積分を計算します。

$\int_{-2}^{1} (5x^2 + 3x + 2) \, dx = \left[ \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 2x \right]_{-2}^{1}$

$=\left( \frac{5}{3}(1)^3 + \frac{3}{2}(1)^2 + 2(1) \right) - \left( \frac{5}{3}(-2)^3 + \frac{3}{2}(-2)^2 + 2(-2) \right)$

$=\left( \frac{5}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{5}{3}(-8) + \frac{3}{2}(4) - 4 \right)$

$=\left( \frac{10 + 9 + 12}{6} \right) - \left( -\frac{40}{3} + 6 - 4 \right)$

$=\frac{31}{6} - \left( -\frac{40}{3} + 2 \right)$

$=\frac{31}{6} - \left( -\frac{40}{3} + \frac{6}{3} \right)$

$=\frac{31}{6} - \left( -\frac{34}{3} \right)$

$=\frac{31}{6} + \frac{68}{6}$

$=\frac{99}{6} = \frac{33}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{33}{2}$