次の定積分を計算してください。 $\int_{-1}^{1} (10x^2 - 3x - 4) dx + \int_{1}^{3} (10x^2 - 3x - 4) dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算してください。

$\int_{-1}^{1} (10x^2 - 3x - 4) dx + \int_{1}^{3} (10x^2 - 3x - 4) dx$

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

$\int (10x^2 - 3x - 4) dx = \frac{10}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 4x + C$

次に、定積分の性質を利用して、積分範囲をまとめます。

$\int_{-1}^{1} (10x^2 - 3x - 4) dx + \int_{1}^{3} (10x^2 - 3x - 4) dx = \int_{-1}^{3} (10x^2 - 3x - 4) dx$

上記で求めた不定積分を用いて、定積分を計算します。

$\int_{-1}^{3} (10x^2 - 3x - 4) dx = \left[ \frac{10}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 4x \right]_{-1}^{3}$

$= \left( \frac{10}{3}(3)^3 - \frac{3}{2}(3)^2 - 4(3) \right) - \left( \frac{10}{3}(-1)^3 - \frac{3}{2}(-1)^2 - 4(-1) \right)$

$= \left( \frac{10}{3}(27) - \frac{3}{2}(9) - 12 \right) - \left( \frac{10}{3}(-1) - \frac{3}{2}(1) + 4 \right)$

$= \left( 90 - \frac{27}{2} - 12 \right) - \left( -\frac{10}{3} - \frac{3}{2} + 4 \right)$

$= 78 - \frac{27}{2} + \frac{10}{3} + \frac{3}{2} - 4$

$= 74 - \frac{24}{2} + \frac{10}{3}$

$= 74 - 12 + \frac{10}{3}$

$= 62 + \frac{10}{3}$

$= \frac{186 + 10}{3}$

$= \frac{196}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{196}{3}$