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与えられた2つの式を展開せよ。 (1) $(x+2y-2)(x+2y+4)$ (2) $(a-3b+1)^2$

代数学展開多項式因数分解
2025/4/7

1. 問題の内容

与えられた2つの式を展開せよ。
(1) (x+2y−2)(x+2y+4)(x+2y-2)(x+2y+4)
(2) (a−3b+1)2(a-3b+1)^2

2. 解き方の手順

(1) x+2y=Ax+2y = A と置換すると、
(x+2y−2)(x+2y+4)=(A−2)(A+4)(x+2y-2)(x+2y+4) = (A-2)(A+4) となる。
(A−2)(A+4)=A2+4A−2A−8=A2+2A−8(A-2)(A+4) = A^2 + 4A - 2A - 8 = A^2 + 2A - 8
ここで、A=x+2yA = x+2y を代入すると、
(x+2y)2+2(x+2y)−8=x2+4xy+4y2+2x+4y−8(x+2y)^2 + 2(x+2y) - 8 = x^2 + 4xy + 4y^2 + 2x + 4y - 8
(2) (a−3b+1)2(a-3b+1)^2 を展開する。
(a−3b+1)2=(a−3b+1)(a−3b+1)(a-3b+1)^2 = (a-3b+1)(a-3b+1)
=a(a−3b+1)−3b(a−3b+1)+1(a−3b+1)= a(a-3b+1) -3b(a-3b+1) + 1(a-3b+1)
=a2−3ab+a−3ab+9b2−3b+a−3b+1= a^2 - 3ab + a - 3ab + 9b^2 - 3b + a - 3b + 1
=a2−6ab+2a+9b2−6b+1= a^2 - 6ab + 2a + 9b^2 - 6b + 1

3. 最終的な答え

(1) x2+4xy+4y2+2x+4y−8x^2 + 4xy + 4y^2 + 2x + 4y - 8
(2) a2−6ab+2a+9b2−6b+1a^2 - 6ab + 2a + 9b^2 - 6b + 1

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