与えられた図形を直線lを軸として回転させたときにできる立体の表面積を求める問題です。図形は3つあり、それぞれ(1)長方形、(2)扇形、(3)台形です。

1. 問題の内容

与えられた図形を直線lを軸として回転させたときにできる立体の表面積を求める問題です。図形は3つあり、それぞれ(1)長方形、(2)扇形、(3)台形です。

2. 解き方の手順

(1)

長方形を回転させると円柱ができます。

円柱の表面積は、$2 \pi r^2 + 2 \pi r h$ で計算できます。

この問題では、半径 $r = 3$ cm、高さ $h = 10$ cm なので、表面積は以下のようになります。

$2 \pi (3)^2 + 2 \pi (3)(10) = 18 \pi + 60 \pi = 78 \pi$

(2)

扇形を回転させると球ができます。

球の表面積は、$4 \pi r^2$ で計算できます。

この問題では、半径 $r = 5$ cm の半球なので、半球の表面積は、

$4 \pi (5)^2 / 2 = 50 \pi$

さらに、底面の円の面積を足す必要があります。底面の円の面積は $\pi r^2$で、$r=5$ なので、

$\pi (5)^2 = 25 \pi$

したがって、立体の表面積は、$50 \pi + 25 \pi = 75 \pi$

(3)

台形を回転させると、円錐台と呼ばれる立体ができます。

円錐台の表面積は、側面積と上下の円の面積の和で求められます。

まず、側面積を求めます。これは、大きい円錐の側面積から小さい円錐の側面積を引くことで求められます。

大きい円錐の母線は12 cm、半径は6 cm なので、側面積は $\pi (6)(12) = 72\pi$

小さい円錐の母線は10 cm、半径は6 cm なので、側面積は $\pi (6)(10) = 60\pi$

したがって、円錐台の側面積は、$72\pi - 60\pi = 12\pi$

次に、下の円の面積は $\pi (6)^2 = 36\pi$

上の円の面積は $\pi (6)^2 = 36\pi$

したがって、円錐台の表面積は、$12\pi + 36\pi + 36\pi = 84\pi$

3. 最終的な答え

(1) $78 \pi \text{ cm}^2$

(2) $75 \pi \text{ cm}^2$

(3) $84 \pi \text{ cm}^2$