関数 $y=ax^2$ において、$x$ の変域が $-4 \le x \le 3$ であるとき、$y$ の変域が $b \le y \le 24$ である。このとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y=ax^2$ において、$x$ の変域が $-4 \le x \le 3$ であるとき、$y$ の変域が $b \le y \le 24$ である。このとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2$ の値の範囲を考える。$x$ の変域が $-4 \le x \le 3$ であるとき、$x^2$ の値は $0$ から $16$ まで変化する。つまり、$0 \le x^2 \le 16$ となる。

次に、$a$ の符号を考える。$y$ の変域が $b \le y \le 24$ と与えられていることから、$y$ の最大値が $24$ であり、最小値が $b$ である。$x^2$ は常に $0$ 以上の値をとるので、$a$ が正の数であれば、$y$ の最小値は $0$ になるはずである。しかし、$y$ の最小値は $b$ であり、$b \ne 0$ である可能性がある。したがって、$a$ は負の数であると考えられる。$a < 0$ であると仮定する。

$a < 0$ の場合、$x^2$ が最大の値をとるとき、$y$ は最小の値をとる。$x^2$ の最大値は $16$ であるから、$y$ の最小値 $b$ は、$x^2 = 16$ のとき、$y = 16a$ となる。したがって、

$b = 16a$

となる。

また、$x$ の変域に $x=0$ が含まれるので、$y=ax^2$ の最小値は、$x=0$のとき、$y=0$となる。問題文より、yの変域は$b \le y \le 24$なので、最小値$b=0$となる。これは、$a<0$と矛盾するので、$a>0$である必要がある。

$a > 0$ の場合、$x^2$ の値が $0$ のとき、$y=0$となり、$b=0$となる。

$x=-4$のとき、$y=16a$

$x=3$のとき、$y=9a$

となる。

$16a$と$9a$のうち大きい方が、$y$の最大値$24$になる。

$a > 0$より、$16a > 9a$なので、$16a = 24$。

$a = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$

$b=0$

3. 最終的な答え

$a = \frac{3}{2}$

$b = 0$