不等式 $|2x| + |x-2| < 6$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $|2x| + |x-2| < 6$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式なので、場合分けを行います。

(i) $x \geq 2$ のとき：

$2x \geq 0$ かつ $x-2 \geq 0$ なので、$|2x| = 2x$、$|x-2| = x-2$ となります。

不等式は $2x + (x-2) < 6$ となり、$3x - 2 < 6$ より $3x < 8$ なので、$x < \frac{8}{3}$ となります。

このとき、$2 \leq x < \frac{8}{3}$ です。

(ii) $0 \leq x < 2$ のとき：

$2x \geq 0$ かつ $x-2 < 0$ なので、$|2x| = 2x$、$|x-2| = -(x-2) = 2-x$ となります。

不等式は $2x + (2-x) < 6$ となり、$x + 2 < 6$ より $x < 4$ となります。

このとき、$0 \leq x < 2$ です。

(iii) $x < 0$ のとき：

$2x < 0$ かつ $x-2 < 0$ なので、$|2x| = -2x$、$|x-2| = -(x-2) = 2-x$ となります。

不等式は $-2x + (2-x) < 6$ となり、$-3x + 2 < 6$ より $-3x < 4$ なので、$x > -\frac{4}{3}$ となります。

このとき、$-\frac{4}{3} < x < 0$ です。

(i), (ii), (iii) の結果を合わせると、$-\frac{4}{3} < x < \frac{8}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$-\frac{4}{3} < x < \frac{8}{3}$