複素数平面における次の方程式を満たす点全体の集合がどのような図形になるかを答える問題です。 (1) $|z+1| = 2|z-2|$ (2) $|z-2i| = 2|z+i|$

1. 問題の内容

複素数平面における次の方程式を満たす点全体の集合がどのような図形になるかを答える問題です。

(1) $|z+1| = 2|z-2|$

(2) $|z-2i| = 2|z+i|$

2. 解き方の手順

複素数 $z = x + yi$ （$x, y$ は実数）とおき、与えられた方程式に代入し、得られた式を整理することで、$x$ と $y$ の関係式を導きます。

(1) $|z+1| = 2|z-2|$ に $z = x + yi$ を代入すると、

$|x + yi + 1| = 2|x + yi - 2|$

$|(x+1) + yi| = 2|(x-2) + yi|$

$\sqrt{(x+1)^2 + y^2} = 2\sqrt{(x-2)^2 + y^2}$

両辺を2乗して、

$(x+1)^2 + y^2 = 4((x-2)^2 + y^2)$

$x^2 + 2x + 1 + y^2 = 4(x^2 - 4x + 4 + y^2)$

$x^2 + 2x + 1 + y^2 = 4x^2 - 16x + 16 + 4y^2$

$3x^2 - 18x + 3y^2 + 15 = 0$

$x^2 - 6x + y^2 + 5 = 0$

$(x^2 - 6x + 9) + y^2 = 9 - 5$

$(x-3)^2 + y^2 = 4$

これは中心 $(3, 0)$、半径 $2$ の円を表します。

(2) $|z-2i| = 2|z+i|$ に $z = x + yi$ を代入すると、

$|x + yi - 2i| = 2|x + yi + i|$

$|x + (y-2)i| = 2|x + (y+1)i|$

$\sqrt{x^2 + (y-2)^2} = 2\sqrt{x^2 + (y+1)^2}$

両辺を2乗して、

$x^2 + (y-2)^2 = 4(x^2 + (y+1)^2)$

$x^2 + y^2 - 4y + 4 = 4(x^2 + y^2 + 2y + 1)$

$x^2 + y^2 - 4y + 4 = 4x^2 + 4y^2 + 8y + 4$

$3x^2 + 3y^2 + 12y = 0$

$x^2 + y^2 + 4y = 0$

$x^2 + (y^2 + 4y + 4) = 4$

$x^2 + (y+2)^2 = 4$

これは中心 $(0, -2)$、半径 $2$ の円を表します。

3. 最終的な答え

(1) 中心 $3 + 0i$、半径 $2$ の円

(2) 中心 $0 - 2i$、半径 $2$ の円