与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。 (1) $y=2x^2+4x+1$ の頂点と同じ頂点を持ち、$y$軸と点$(0, 2)$で交わる放物線。 (2) 3点$(3,0), (-1,0), (2,6)$ を通る放物線。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。

(1) $y=2x^2+4x+1$ の頂点と同じ頂点を持ち、$y$軸と点$(0, 2)$で交わる放物線。

(2) 3点$(3,0), (-1,0), (2,6)$ を通る放物線。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y=2x^2+4x+1$ の頂点を求めます。平方完成を行うと、

$y = 2(x^2+2x) + 1$

$y = 2(x^2+2x+1-1) + 1$

$y = 2(x+1)^2 - 2 + 1$

$y = 2(x+1)^2 - 1$

したがって、頂点は $(-1, -1)$ です。

求める放物線の式を $y=a(x+1)^2 - 1$ とおきます。これが点 $(0, 2)$ を通るので、

$2 = a(0+1)^2 - 1$

$2 = a - 1$

$a = 3$

よって、求める2次関数は $y=3(x+1)^2 - 1 = 3(x^2+2x+1) - 1 = 3x^2 + 6x + 3 - 1 = 3x^2 + 6x + 2$。

(2)

3点$(3,0), (-1,0), (2,6)$ を通る放物線を $y=ax^2+bx+c$ とおきます。

3点の座標を代入すると、

$9a + 3b + c = 0$ ...(1)

$a - b + c = 0$ ...(2)

$4a + 2b + c = 6$ ...(3)

(1)-(2)より $8a + 4b = 0$, すなわち $2a + b = 0$, よって $b = -2a$ ...(4)

(3)-(2)より $3a + 3b = 6$, すなわち $a + b = 2$ ...(5)

(5)に(4)を代入して、$a + (-2a) = 2$ より $-a = 2$, したがって $a = -2$。

(4)より $b = -2a = -2(-2) = 4$。

(2)より $c = -a + b = -(-2) + 4 = 2 + 4 = 6$。

よって、求める2次関数は $y=-2x^2+4x+6$。

3. 最終的な答え

(1) $y = 3x^2 + 6x + 2$

(2) $y = -2x^2 + 4x + 6$