すべての実数 $x, y$ に対して、不等式 $x^2 - 2(a-1)xy + y^2 + (a-2)y + 1 \ge 0$ が成り立つような $a$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

すべての実数 $x, y$ に対して、不等式 $x^2 - 2(a-1)xy + y^2 + (a-2)y + 1 \ge 0$ が成り立つような $a$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

与えられた不等式は $x$ についての二次式とみなすことができる。

$x^2 - 2(a-1)xy + y^2 + (a-2)y + 1 \ge 0$

$x$ について平方完成することを考える。

$x^2 - 2(a-1)yx + (a-1)^2 y^2 - (a-1)^2 y^2 + y^2 + (a-2)y + 1 \ge 0$

$(x - (a-1)y)^2 - (a-1)^2 y^2 + y^2 + (a-2)y + 1 \ge 0$

$(x - (a-1)y)^2 - (a^2 - 2a + 1)y^2 + y^2 + (a-2)y + 1 \ge 0$

$(x - (a-1)y)^2 - (a^2 - 2a)y^2 + (a-2)y + 1 \ge 0$

$(x - (a-1)y)^2 \ge (a^2 - 2a)y^2 - (a-2)y - 1$

左辺は平方なので常に0以上である。

したがって、すべての実数 $y$ に対して、右辺が0以下であればよい。

$(a^2 - 2a)y^2 - (a-2)y - 1 \le 0$

これは $y$ についての二次不等式なので、常に成り立つためには、

$a^2 - 2a < 0$ かつ判別式 $D \le 0$

または

$a^2 - 2a = 0$ かつ $-(a-2)y - 1 \le 0$ がすべての $y$ について成り立つ

まず、$a^2 - 2a < 0$ のときを考える。

$a(a-2) < 0$ より $0 < a < 2$

このとき、判別式 $D = (a-2)^2 - 4(a^2 - 2a)(-1) = (a-2)^2 + 4(a^2 - 2a) = a^2 - 4a + 4 + 4a^2 - 8a = 5a^2 - 12a + 4$

$5a^2 - 12a + 4 \le 0$

$(5a-2)(a-2) \le 0$ より $\frac{2}{5} \le a \le 2$

よって、$0 < a < 2$ と合わせて、$\frac{2}{5} \le a < 2$

次に、$a^2 - 2a = 0$ のときを考える。

$a(a-2) = 0$ より $a = 0, 2$

$a = 0$ のとき、不等式は $-(-2)y - 1 \le 0 \Leftrightarrow 2y - 1 \le 0$ となる。これはすべての $y$ については成り立たない。

$a = 2$ のとき、不等式は $-(2-2)y - 1 \le 0 \Leftrightarrow -1 \le 0$ となり、これは常に成り立つ。

したがって、$a = 2$ も条件を満たす。

以上より、$\frac{2}{5} \le a \le 2$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{5} \le a \le 2$