$a = \frac{2}{3-\sqrt{7}}$, $b = \frac{2}{3+\sqrt{7}}$ とするとき、$ab$, $a+b$, $a^2+b^2$, $\frac{a}{b}$, $b^4 + \frac{16}{b^4}$, $b^4 - \frac{16}{b^4}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$a = \frac{2}{3-\sqrt{7}}$, $b = \frac{2}{3+\sqrt{7}}$ とするとき、$ab$, $a+b$, $a^2+b^2$, $\frac{a}{b}$, $b^4 + \frac{16}{b^4}$, $b^4 - \frac{16}{b^4}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$a$ と $b$ をそれぞれ有理化します。

$a = \frac{2}{3-\sqrt{7}} = \frac{2(3+\sqrt{7})}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})} = \frac{2(3+\sqrt{7})}{9-7} = \frac{2(3+\sqrt{7})}{2} = 3+\sqrt{7}$

$b = \frac{2}{3+\sqrt{7}} = \frac{2(3-\sqrt{7})}{(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})} = \frac{2(3-\sqrt{7})}{9-7} = \frac{2(3-\sqrt{7})}{2} = 3-\sqrt{7}$

次に、$ab$, $a+b$, $a^2+b^2$ を計算します。

$ab = (3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7}) = 9-7 = 2$

$a+b = (3+\sqrt{7}) + (3-\sqrt{7}) = 6$

$a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 6^2 - 2(2) = 36 - 4 = 32$

$\frac{a}{b}$ を計算します。

$\frac{a}{b} = \frac{3+\sqrt{7}}{3-\sqrt{7}} = \frac{(3+\sqrt{7})^2}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})} = \frac{9+6\sqrt{7}+7}{9-7} = \frac{16+6\sqrt{7}}{2} = 8+3\sqrt{7}$

$b^4 + \frac{16}{b^4}$ を計算します。

$b^2 = (3-\sqrt{7})^2 = 9 - 6\sqrt{7} + 7 = 16 - 6\sqrt{7}$

$b^4 = (16 - 6\sqrt{7})^2 = 256 - 192\sqrt{7} + 252 = 508 - 192\sqrt{7}$

$\frac{16}{b^4} = \frac{16}{508-192\sqrt{7}} = \frac{16(508+192\sqrt{7})}{(508-192\sqrt{7})(508+192\sqrt{7})} = \frac{16(508+192\sqrt{7})}{508^2 - (192^2)(7)} = \frac{16(508+192\sqrt{7})}{258064 - 258048} = \frac{16(508+192\sqrt{7})}{16} = 508+192\sqrt{7}$

$b^4 + \frac{16}{b^4} = (508 - 192\sqrt{7}) + (508+192\sqrt{7}) = 1016$

$b^4 - \frac{16}{b^4}$ を計算します。

$b^4 - \frac{16}{b^4} = (508 - 192\sqrt{7}) - (508+192\sqrt{7}) = -384\sqrt{7}$

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 6

ウエ: 32

ア/b: 8+3√7

オカキク: 1016

ケコサ: -384