2次関数 $y = -x^2 - 2mx - 2m - 3$ のグラフについて、以下の条件を満たす定数 $m$ の値の範囲を求める。 (1) $x$ 軸の $x > -4$ の部分と、異なる2点で交わる。 (2) $x$ 軸の $x > -2$ の部分と $x < -2$ の部分のそれぞれと交わる。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 - 2mx - 2m - 3$ のグラフについて、以下の条件を満たす定数 $m$ の値の範囲を求める。

(1) $x$ 軸の $x > -4$ の部分と、異なる2点で交わる。

(2) $x$ 軸の $x > -2$ の部分と $x < -2$ の部分のそれぞれと交わる。

2. 解き方の手順

(1) の場合

2次関数 $y = -x^2 - 2mx - 2m - 3$ について、条件を満たすためには、以下の3つの条件が必要となる。

i) $x$軸と異なる2点で交わる (判別式 $D > 0$)

ii) 軸が $x > -4$ の範囲にある

iii) $x = -4$ のとき $y < 0$

i) 判別式 $D > 0$ について

$D/4 = (-m)^2 - (-1)(-2m - 3) = m^2 - 2m - 3 > 0$

$(m - 3)(m + 1) > 0$

$m < -1$, $m > 3$

ii) 軸について

$y = -(x^2 + 2mx) - 2m - 3 = -(x + m)^2 + m^2 - 2m - 3$ より、軸は $x = -m$ である。

$-m > -4$

$m < 4$

iii) $x = -4$ のとき $y < 0$ について

$y(-4) = -(-4)^2 - 2m(-4) - 2m - 3 < 0$

$-16 + 8m - 2m - 3 < 0$

$6m < 19$

$m < \frac{19}{6}$

i), ii), iii) より、

$m < -1$, $m > 3$

$m < 4$

$m < \frac{19}{6}$

よって、$m < -1$ または $3 < m < \frac{19}{6}$

(2) の場合

$x > -2$ の部分と $x < -2$ の部分でそれぞれ交わるためには、$x = -2$ のとき $y > 0$ である必要がある。

$y(-2) = -(-2)^2 - 2m(-2) - 2m - 3 > 0$

$-4 + 4m - 2m - 3 > 0$

$2m > 7$

$m > \frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $m < -1$ または $3 < m < \frac{19}{6}$

(2) $m > \frac{7}{2}$