線形写像 $f: V \to W$ が与えられており、$V$ の基底 $\{a_1, a_2, a_3\}$、$W$ の基底 $\{t_1, t_2, t_3\}$ に関する $f$ の表現行列 $A$ が $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ で与えられている。このとき、$\text{Ker} f$ と $\text{Im} f$ の基底をそれぞれ決定する。

1. 問題の内容

線形写像 $f: V \to W$ が与えられており、$V$ の基底 $\{a_1, a_2, a_3\}$、$W$ の基底 $\{t_1, t_2, t_3\}$ に関する $f$ の表現行列 $A$ が

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

で与えられている。このとき、$\text{Ker} f$ と $\text{Im} f$ の基底をそれぞれ決定する。

2. 解き方の手順

(1) $\text{Ker} f$ を求める。

$\text{Ker} f = \{v \in V \mid f(v) = 0\}$ である。$v \in V$ を $v = x_1 a_1 + x_2 a_2 + x_3 a_3$ と表すと、$f(v)$ は表現行列 $A$ を用いて次のように表される。

$$f(v) = x_1 f(a_1) + x_2 f(a_2) + x_3 f(a_3)$$

ここで $f(a_1), f(a_2), f(a_3)$ は $W$ の基底 $\{t_1, t_2, t_3\}$ で展開されたときの係数が表現行列 $A$ の各列に対応する。すなわち、

$$\begin{pmatrix} f(a_1) \\ f(a_2) \\ f(a_3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t_1 \\ t_2 \\ t_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

従って、$f(v) = 0$ となるのは、

$$A \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

となるときである。この連立一次方程式を解く。

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

第2式より $x_2 = 0$、第3式より $x_2 + x_3 = 0$。従って $x_3 = 0$。第1式より $x_1 + x_2 - x_3 = 0$ なので、$x_1 = 0$。

しかし、これは$x_1=x_2=x_3=0$という自明な解しか持たない。

行列式を計算すると、$|A|=1*(1*1-0*1)=1 \neq 0$なので、$A$は正則行列であり、解は自明な解のみである。

したがって、Ker f = {0}である。

(2) $\text{Im} f$ を求める。

$\text{Im} f = \{f(v) \mid v \in V\}$ である。表現行列 $A$ の列ベクトルは $\text{Im} f$ の基底を与える。

$$f(a_1) = t_1, \quad f(a_2) = t_1 + t_2 + t_3, \quad f(a_3) = -t_1 + t_3$$

$\text{Im} f$ は $f(a_1), f(a_2), f(a_3)$ で張られる。

$A$のランクは3なので、$\text{Im} f$の次元は3である。

したがって、$f(a_1), f(a_2), f(a_3)$は$W$の基底$\{t_1,t_2,t_3\}$を用いて表現されているので、$\text{Im} f$ の基底は$\{t_1, t_1 + t_2 + t_3, -t_1 + t_3\}$で与えられる。

あるいは、$A$が正則なので、$\text{Im} f = W$である。したがって、$\text{Im} f$の基底は$\{t_1, t_2, t_3\}$となる。

3. 最終的な答え

$\text{Ker} f$ の基底：$\{0\}$ (またはなし)

$\text{Im} f$ の基底：$\{t_1, t_2, t_3\}$ (または$\{t_1, t_1 + t_2 + t_3, -t_1 + t_3\}$)