与えられた問題は、総和記号 $\sum$ を用いて、$k=1$から$k=n$までの$k^3+k$の総和を計算するものです。数式で表すと、以下のようになります。 $$\sum_{k=1}^n (k^3 + k)$$

1. 問題の内容

与えられた問題は、総和記号 $\sum$ を用いて、$k=1$から$k=n$までの$k^3+k$の総和を計算するものです。数式で表すと、以下のようになります。

$$\sum_{k=1}^n (k^3 + k)$$

2. 解き方の手順

総和の性質を利用して、与えられた式を二つの総和に分割します。

$$\sum_{k=1}^n (k^3 + k) = \sum_{k=1}^n k^3 + \sum_{k=1}^n k$$

次に、それぞれの総和の公式を適用します。

$\sum_{k=1}^n k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$

これらの公式を分割した総和に代入します。

$$\sum_{k=1}^n k^3 + \sum_{k=1}^n k = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 + \frac{n(n+1)}{2}$$

共通因数 $\frac{n(n+1)}{2}$ で括ります。

$$\frac{n(n+1)}{2} \left( \frac{n(n+1)}{2} + 1 \right) = \frac{n(n+1)}{2} \left( \frac{n^2+n+2}{2} \right) = \frac{n(n+1)(n^2+n+2)}{4}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{n(n+1)(n^2+n+2)}{4}$$