条件 $x+2y-1=0$ のもとで、$xy$ の最大値とそのときの $x, y$ の値を求める。

1. 問題の内容

条件 $x+2y-1=0$ のもとで、$xy$ の最大値とそのときの $x, y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$x+2y-1=0$ より、$x=1-2y$ と表せる。

これを $xy$ に代入すると、

$xy = (1-2y)y = y - 2y^2$

となる。

$f(y) = y - 2y^2$ とおき、この関数の最大値を求める。

$f(y) = -2(y^2 - \frac{1}{2}y) = -2(y^2 - \frac{1}{2}y + \frac{1}{16} - \frac{1}{16}) = -2(y - \frac{1}{4})^2 + \frac{1}{8}$

したがって、$y = \frac{1}{4}$ のとき、$f(y)$ は最大値 $\frac{1}{8}$ をとる。

このとき、$x = 1 - 2y = 1 - 2(\frac{1}{4}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ である。

3. 最終的な答え

$xy$ の最大値は $\frac{1}{8}$ であり、そのときの $x, y$ の値は $x = \frac{1}{2}, y = \frac{1}{4}$ である。