(1) $3|x+1|<x+5$ を解く。 (2) $|x+2|-|x-1|>x$ を解く。

1. 問題の内容

(1) $3|x+1|<x+5$ を解く。

(2) $|x+2|-|x-1|>x$ を解く。

2. 解き方の手順

(1) $3|x+1|<x+5$

絶対値記号の中身の符号で場合分けをする。

(i) $x+1 \geq 0$、つまり $x \geq -1$ のとき

$|x+1| = x+1$ となるので、不等式は $3(x+1) < x+5$ となる。

$3x+3 < x+5$

$2x < 2$

$x < 1$

$x \geq -1$ と $x < 1$ より、$-1 \leq x < 1$

(ii) $x+1 < 0$、つまり $x < -1$ のとき

$|x+1| = -(x+1)$ となるので、不等式は $-3(x+1) < x+5$ となる。

$-3x-3 < x+5$

$-4x < 8$

$x > -2$

$x < -1$ と $x > -2$ より、$-2 < x < -1$

(i), (ii) より、$-2 < x < 1$

(2) $|x+2|-|x-1|>x$

絶対値記号の中身の符号で場合分けをする。

(i) $x < -2$ のとき

$|x+2| = -(x+2)$、 $|x-1| = -(x-1)$ となるので、

$-(x+2) - (-(x-1)) > x$

$-x-2 + x - 1 > x$

$-3 > x$

$x < -3$

$x < -2$ と $x < -3$ より、$x < -3$

(ii) $-2 \leq x < 1$ のとき

$|x+2| = x+2$、 $|x-1| = -(x-1)$ となるので、

$x+2 - (-(x-1)) > x$

$x+2 + x - 1 > x$

$2x+1 > x$

$x > -1$

$-2 \leq x < 1$ と $x > -1$ より、$-1 < x < 1$

(iii) $1 \leq x$ のとき

$|x+2| = x+2$、 $|x-1| = x-1$ となるので、

$x+2 - (x-1) > x$

$x+2 - x + 1 > x$

$3 > x$

$x < 3$

$1 \leq x$ と $x < 3$ より、$1 \leq x < 3$

(i), (ii), (iii) より、

$x < -3$, $-1 < x < 1$, $1 \leq x < 3$

よって、$x < -3$ または $-1 < x < 3$

3. 最終的な答え

(1) $-2 < x < 1$

(2) $x < -3$ または $-1 < x < 3$