与えられた問題は3つの部分から構成されています。 (1) $a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ の分母を有理化し、簡単にします。 (2) (1)で求めた $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求め、さらに $a^2 - b^2$ の値を求めます。 (3) (2)で求めた $b$ を使い、不等式 $p < x < p+4b$ を満たす整数 $x$ がちょうど3個あり、その3個の整数の和が0となるような $p$ の値の範囲を求めます。

はい、承知しました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた問題は3つの部分から構成されています。

(1) $a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ の分母を有理化し、簡単にします。

(2) (1)で求めた $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求め、さらに $a^2 - b^2$ の値を求めます。

(3) (2)で求めた $b$ を使い、不等式 $p < x < p+4b$ を満たす整数 $x$ がちょうど3個あり、その3個の整数の和が0となるような $p$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

分母を有理化するために、$3+2\sqrt{2}$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{1}{3-2\sqrt{2}} = \frac{1}{3-2\sqrt{2}} \times \frac{3+2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{3+2\sqrt{2}}{9-8} = 3+2\sqrt{2}$

(2)

まず、$a$ の整数部分を求めます。

$a = 3 + 2\sqrt{2}$ であり、$1 < \sqrt{2} < 2$ より $2 < 2\sqrt{2} < 4$ となります。

したがって、$5 < 3 + 2\sqrt{2} < 7$ となり、$a$ の整数部分は $5$ です。

小数部分 $b$ は $a$ から整数部分を引いたものなので、$b = a - 5 = (3 + 2\sqrt{2}) - 5 = 2\sqrt{2} - 2$

次に、$a^2 - b^2$ を計算します。

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

$a+b = (3+2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2}-2) = 1 + 4\sqrt{2}$

$a-b = (3+2\sqrt{2}) - (2\sqrt{2}-2) = 5$

よって、$a^2 - b^2 = (1+4\sqrt{2})(5) = 5 + 20\sqrt{2}$

(3)

$b = 2\sqrt{2} - 2$ なので、$4b = 8\sqrt{2} - 8$ です。

不等式は $p < x < p+4b = p + 8\sqrt{2} - 8$ となります。

この不等式を満たす整数が3つで、その和が0であるということは、整数が -1, 0, 1 である必要があります。

したがって、$p < -1$ かつ $1 < p + 8\sqrt{2} - 8$ が成り立ち、

また、$-2 \leq p$ かつ $2 \geq p+8\sqrt{2}-8$ が成り立ちます。

整理すると、

$p < -1$ かつ $9-8\sqrt{2} < p$

$-2 \leq p$ かつ $10-8\sqrt{2} \geq p$

よって、$9-8\sqrt{2} < p \leq 10 - 8\sqrt{2}$

$9-8\sqrt{2} \approx 9 - 8(1.414) = 9 - 11.312 = -2.312$

$10-8\sqrt{2} \approx 10 - 8(1.414) = 10 - 11.312 = -1.312$

-2.312 < p <= -1.312

したがって、$p$の範囲は、$-2.312 < p \leq -1.312$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3 + 2\sqrt{2}$

(2) $b = 2\sqrt{2} - 2$, $a^2 - b^2 = 5 + 20\sqrt{2}$

(3) $9 - 8\sqrt{2} < p \leq 10 - 8\sqrt{2}$