与えられた式 $(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2})^3 + (\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2})^3$ の値を計算します。

1. 問題の内容

与えられた式 $(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2})^3 + (\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2})^3$ の値を計算します。

2. 解き方の手順

和の3乗の公式 $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ と、差の3乗の公式 $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ を利用します。

$a = \sqrt[3]{4}$ 、 $b = \sqrt[3]{2}$ とすると、与式は

$(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2})^3 + (\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2})^3 = (a+b)^3 + (a-b)^3$

と表せます。

$(a+b)^3 + (a-b)^3 = (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) + (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3)$

$= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 + a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

$= 2a^3 + 6ab^2$

ここで $a = \sqrt[3]{4}$ 、 $b = \sqrt[3]{2}$ を代入すると、

$2(\sqrt[3]{4})^3 + 6(\sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{2})^2 = 2(4) + 6\sqrt[3]{4 \cdot 2^2} = 8 + 6\sqrt[3]{16} = 8 + 6\sqrt[3]{2^4} = 8 + 6 \cdot 2 \sqrt[3]{2} = 8 + 12\sqrt[3]{2}$

計算を簡単にするために、一旦 $a = \sqrt[3]{4}, b = \sqrt[3]{2}$とおきました。

式を展開すると、$2a^3 + 6ab^2$ となりました。

$a$ と $b$ を元に戻すと、$2(\sqrt[3]{4})^3 + 6 \sqrt[3]{4} (\sqrt[3]{2})^2 = 2 \cdot 4 + 6 \sqrt[3]{4} \sqrt[3]{4} = 8 + 6 \sqrt[3]{16} = 8 + 6 \sqrt[3]{2^4} = 8 + 6 \cdot 2 \sqrt[3]{2} = 8 + 12\sqrt[3]{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$8 + 12\sqrt[3]{2}$