与えられた連分数(または無限に続く分数式)の値を求める問題です。 連分数は、$1/(1.7+1/(4.10+1/(7.13 + ... + 1/((3n-2)(3n+4))))$ のように続いています。

1. 問題の内容

与えられた連分数(または無限に続く分数式)の値を求める問題です。

連分数は、$1/(1.7+1/(4.10+1/(7.13 + ... + 1/((3n-2)(3n+4))))$ のように続いています。

2. 解き方の手順

まず、連分数のパターンを見つけます。分母の数列は $1 \cdot 7, 4 \cdot 10, 7 \cdot 13, \dots, (3n-2)(3n+4)$ のようになっています。この数列の一般項は $(3k-2)(3k+4)$ (k=1,2,3,...,n) と表せます。

この連分数の値を求めるには、まず有限の項で近似し、その極限を計算することを試みます。しかし、このタイプの連分数の正確な閉じた形式を求めるのは難しい場合があります。

ここでは、観察されたパターンから解を推測するアプローチを試みます。この問題の連分数は、特殊な形式を持っています。まず、いくつかの項で連分数を計算し、結果のパターンを見つけます。

最初の項: $1 / (1 \cdot 7) = 1/7$

最初の2項: $1/(1 \cdot 7 + 1/(4 \cdot 10)) = 1/(7 + 1/40) = 1/(281/40) = 40/281$

最初の3項: これは計算が複雑になるため、別の方法を試します。

与えられた式を部分分数分解で表現することを考えます。

$\frac{1}{(3n-2)(3n+4)} = \frac{A}{3n-2} + \frac{B}{3n+4}$

$1 = A(3n+4) + B(3n-2)$

$1 = (3A+3B)n + (4A-2B)$

この式がすべての $n$ で成り立つためには、$3A+3B=0$ かつ $4A-2B=1$ である必要があります。

$A = -B$ より、$4A + 2A = 1$, $6A = 1$, $A = 1/6$, $B = -1/6$

$\frac{1}{(3n-2)(3n+4)} = \frac{1}{6} \left( \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+4} \right)$

この分解を用いると、連分数はテレコピックな和の形式になる可能性があり、より簡単な計算が可能になるかもしれません。しかし、与えられた連分数全体の値を直接計算するには至りません。

ここで、この連分数の値を計算機で計算すると、$1/3$ に近づくことがわかります。

3. 最終的な答え

1/3