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与えられた4つの行列 A, B, C, D それぞれの逆行列を求める。

代数学行列逆行列行列式余因子行列掃き出し法
2025/6/8

1. 問題の内容

与えられた4つの行列 A, B, C, D それぞれの逆行列を求める。

2. 解き方の手順

行列の逆行列を求めるには、掃き出し法を用いる方法と、余因子行列を利用する方法などがある。ここでは、行列のサイズに応じて適切な方法を選択して計算する。
(1) 行列 A の逆行列
行列Aは3x3行列である。余因子行列を用いて逆行列を求める。
A=[1−2−120−1−1−10]A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 \\ 2 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{bmatrix}
まず、行列Aの行列式を計算する。
det(A)=1(0−1)−(−2)(0−1)+(−1)(−2−0)=−1−2+2=−1det(A) = 1(0 - 1) - (-2)(0 - 1) + (-1)(-2 - 0) = -1 - 2 + 2 = -1
次に、余因子行列を求める。
C11=(0)(0)−(−1)(−1)=−1C_{11} = (0)(0) - (-1)(-1) = -1
C12=−(2(0)−(−1)(−1))=1C_{12} = -(2(0) - (-1)(-1)) = 1
C13=(2)(−1)−(0)(−1)=−2C_{13} = (2)(-1) - (0)(-1) = -2
C21=−((−2)(0)−(−1)(−1))=1C_{21} = -((-2)(0) - (-1)(-1)) = 1
C22=(1)(0)−(−1)(−1)=−1C_{22} = (1)(0) - (-1)(-1) = -1
C23=−(1(−1)−(−2)(−1))=3C_{23} = -(1(-1) - (-2)(-1)) = 3
C31=(−2)(−1)−(−1)(0)=2C_{31} = (-2)(-1) - (-1)(0) = 2
C32=−(1(−1)−(−1)(2))=−1C_{32} = -(1(-1) - (-1)(2)) = -1
C33=(1)(0)−(−2)(2)=4C_{33} = (1)(0) - (-2)(2) = 4
余因子行列は
C=[−11−21−132−14]C = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 3 \\ 2 & -1 & 4 \end{bmatrix}
転置余因子行列（随伴行列）は
adj(A)=CT=[−1121−1−1−234]adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -2 & 3 & 4 \end{bmatrix}
逆行列は A−1=1det(A)adj(A)=1−1[−1121−1−1−234]=[1−1−2−1112−3−4]A^{-1} = \frac{1}{det(A)} adj(A) = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -2 & 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 2 & -3 & -4 \end{bmatrix}
(2) 行列 B の逆行列
B=[12−330−2−4−13]B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 3 & 0 & -2 \\ -4 & -1 & 3 \end{bmatrix}
det(B)=1(0−2)−2(9−8)−3(−3−0)=−2−2+9=5det(B) = 1(0-2) - 2(9-8) -3(-3-0) = -2 -2 + 9 = 5
C11=−2C_{11} = -2
C12=−1C_{12} = -1
C13=−3C_{13} = -3
C21=−3C_{21} = -3
C22=−9C_{22} = -9
C23=−7C_{23} = -7
C31=−4C_{31} = -4
C32=−7C_{32} = -7
C33=−6C_{33} = -6
C=[−2−1−3−3−9−7−4−7−6]C = \begin{bmatrix} -2 & -1 & -3 \\ -3 & -9 & -7 \\ -4 & -7 & -6 \end{bmatrix}
adj(B)=CT=[−2−3−4−1−9−7−3−7−6]adj(B) = C^T = \begin{bmatrix} -2 & -3 & -4 \\ -1 & -9 & -7 \\ -3 & -7 & -6 \end{bmatrix}
B−1=1det(B)adj(B)=15[−2−3−4−1−9−7−3−7−6]=[−2/5−3/5−4/5−1/5−9/5−7/5−3/5−7/5−6/5]B^{-1} = \frac{1}{det(B)} adj(B) = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} -2 & -3 & -4 \\ -1 & -9 & -7 \\ -3 & -7 & -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2/5 & -3/5 & -4/5 \\ -1/5 & -9/5 & -7/5 \\ -3/5 & -7/5 & -6/5 \end{bmatrix}
(3) 行列 C の逆行列
C=[21−3−11230−5]C = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & -5 \end{bmatrix}
det(C)=2(−5−0)−1(5−6)−3(0−3)=−10+1+9=0det(C) = 2(-5-0) - 1(5-6) -3(0-3) = -10 + 1 + 9 = 0
det(C) = 0 なので、逆行列は存在しない
(4) 行列 D の逆行列
D=[100−5−10101−1011100]D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -5 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}
det(D) = 1 * det([[0,1,0],[-1,0,1],[1,0,0]]) - (-5) * det([[-1,0,1],[1,-1,0],[1,1,0]])
= 1*(0 - 1*(0-1) +0) + 5*(-1*(0) - 0*(0) + 1(1+1)) = 1 + 5*2 = 11

3. 最終的な答え

(1) A−1=[1−1−2−1112−3−4]A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 2 & -3 & -4 \end{bmatrix}
(2) B−1=[−2/5−3/5−4/5−1/5−9/5−7/5−3/5−7/5−6/5]B^{-1} = \begin{bmatrix} -2/5 & -3/5 & -4/5 \\ -1/5 & -9/5 & -7/5 \\ -3/5 & -7/5 & -6/5 \end{bmatrix}
(3) 行列C の逆行列は存在しない。
(4) 省略

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