$a$を定数とする。不等式 $x-2 < 3x + \frac{1}{2}$ ... (1) $4x - 2a < 3x + 2$ ... (2) をともに満たす整数$x$がちょうど3個となるような$a$の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$a$を定数とする。不等式

$x-2 < 3x + \frac{1}{2}$ ... (1)

$4x - 2a < 3x + 2$ ... (2)

をともに満たす整数$x$がちょうど3個となるような$a$の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、不等式(1)を解きます。

$x - 2 < 3x + \frac{1}{2}$

$-2x < \frac{5}{2}$

$x > -\frac{5}{4}$

次に、不等式(2)を解きます。

$4x - 2a < 3x + 2$

$x < 2a + 2$

したがって、$x$の範囲は、

$-\frac{5}{4} < x < 2a + 2$

となります。

$-\frac{5}{4} = -1.25$なので、この範囲に含まれる整数は、-1, 0, 1, 2, ... となります。

問題文より、この範囲に含まれる整数が3個である必要があるので、含まれる整数は-1, 0, 1である必要があります。

したがって、$1 < 2a + 2 \leq 2$となる必要があります。

この不等式を解きます。

$1 < 2a + 2 \leq 2$

$-1 < 2a \leq 0$

$-\frac{1}{2} < a \leq 0$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2} < a \leq 0$