$x$ の2次関数 $y = x^2 - 2ax + 6a + 3$ の最小値を $m(a)$ とするとき、$m(a)$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$x$ の2次関数 $y = x^2 - 2ax + 6a + 3$ の最小値を $m(a)$ とするとき、$m(a)$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2ax + 6a + 3$

$y = (x - a)^2 - a^2 + 6a + 3$

したがって、$y$ の最小値は $m(a) = -a^2 + 6a + 3$ となります。

次に、$m(a)$ を平方完成して、最大値を求めます。

$m(a) = -a^2 + 6a + 3$

$m(a) = -(a^2 - 6a) + 3$

$m(a) = -(a^2 - 6a + 9 - 9) + 3$

$m(a) = -(a - 3)^2 + 9 + 3$

$m(a) = -(a - 3)^2 + 12$

したがって、$m(a)$ の最大値は $12$ です。

3. 最終的な答え

$12$