平面 R^2 上の点 $(x, y)$ をベクトル $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ と表す。行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ が与えられている。B は直線 $y=x$ に関する線対称変換である。 (1) 行列 A による変換がどのような変換かを答える。 (2) 点 $\mathbf{a}$ を A で変換し、続いて B で変換した点を $\mathbf{a}_1$ とする。また、点 $\mathbf{a}$ を B で変換し、続いて A で変換した点を $\mathbf{a}_2$ とする。行列 A と B による変換を図示し、$\mathbf{a}_1$ と $\mathbf{a}_2$ を図に作図する。 (3) 積 AB と BA をそれぞれ計算し、$AB \neq BA$ を確かめる。 (4) (3) の結果を (2) の結果を使って説明する。

1. 問題の内容

平面 R^2 上の点 $(x, y)$ をベクトル $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ と表す。行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ が与えられている。B は直線 $y=x$ に関する線対称変換である。

(1) 行列 A による変換がどのような変換かを答える。

(2) 点 $\mathbf{a}$ を A で変換し、続いて B で変換した点を $\mathbf{a}_1$ とする。また、点 $\mathbf{a}$ を B で変換し、続いて A で変換した点を $\mathbf{a}_2$ とする。行列 A と B による変換を図示し、$\mathbf{a}_1$ と $\mathbf{a}_2$ を図に作図する。

(3) 積 AB と BA をそれぞれ計算し、$AB \neq BA$ を確かめる。

(4) (3) の結果を (2) の結果を使って説明する。

2. 解き方の手順

(1) 行列 A は、$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}$ より、直線 $y=x$ に関する線対称変換である。

(2)

まず、与えられた点 $\mathbf{a}$ を行列 A で変換すると、直線 $y=x$ に関して線対称な点に移動する。

次に、その点を B で変換する。B による変換は、直線 $y=x$ に関する線対称変換なので、$\mathbf{a}_1$ は、$\mathbf{a}$ を A で変換した点を更に直線 $y=x$ に関して線対称な位置にある。

同様に、点 $\mathbf{a}$ を B で変換し、続いて A で変換した点を $\mathbf{a}_2$ とする。$\mathbf{a}_2$ は、$\mathbf{a}$ を B で変換した点を更に直線 $y=x$ に関して線対称な位置にある。

(3)

行列の積を計算する。

$AB = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

$AB = BA = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I$ となるため、$AB \ne BA$ ではない。

計算ミスを発見しました。Bはy=-xに関する線対称変換でした。

$B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ ではなく、問題文より、$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$、Bは直線$y=x$に関する対称変換です。

Aはy=xに関する対称変換です。従って、A=Bです。

(3)

$AB = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

AB=BA となります。したがって、$AB \neq BA$ ではありません。

改めて行列Bの定義が問題文に与えられていません。画像では、Bはy=xに関する線対称変換と書かれています。

問題文の条件が画像と異なっている可能性があります。仮に $B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ であれば、$AB \ne BA$ となります。$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$、$B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ なども考えられます。

(4) AB=BA となるとき(3) は (2) の結果を使って説明できません。

問題文が正しく与えられていない可能性があるため、これ以上の解答は困難です。

3. 最終的な答え

(1) A は直線 $y=x$ に関する線対称変換である。

(2) 図については、点 $\mathbf{a}_1$ と $\mathbf{a}_2$ を作図する必要がある。

(3) $AB=BA = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ であり、$AB \neq BA$ ではない。

(4) (3) は (2) の結果を使って説明できない。