2次関数 $y = x^2 - 2(a+1)x$ のグラフをGとする。Gの頂点のx座標が1以上5以下であるとき、aの値の範囲を求め、その範囲における $1 \le x \le 5$ での最大値Mを求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2(a+1)x$ のグラフをGとする。Gの頂点のx座標が1以上5以下であるとき、aの値の範囲を求め、その範囲における $1 \le x \le 5$ での最大値Mを求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 - 2(a+1)x$

$y = (x - (a+1))^2 - (a+1)^2$

頂点のx座標は $x = a+1$ である。頂点のx座標が1以上5以下であるから、

$1 \le a+1 \le 5$

各辺から1を引くと、

$0 \le a \le 4$

次に、最大値Mを求める。定義域は $1 \le x \le 5$ である。軸 $x=a+1$ の位置によって場合分けする。

(i) $0 \le a \le 2$ つまり $1 \le a+1 \le 3$ のとき、定義域 $1 \le x \le 5$ において、軸は定義域の左側にあり、x=5のときに最大となる。

$M = 5^2 - 2(a+1)5 = 25 - 10a - 10 = -10a + 15$

(ii) $2 < a \le 4$ つまり $3 < a+1 \le 5$ のとき、定義域 $1 \le x \le 5$ において、軸は定義域の右側にあり、x=1のときに最大となる。

$M = 1^2 - 2(a+1)1 = 1 - 2a - 2 = -2a - 1$

3. 最終的な答え

ア: 0

イ: 4

ウエ: 10

オカ: 15

キ: 2

ク: 1

$0 \le a \le 4$

$0 \le a \le 2$ のとき、 $M = -10a + 15$

$2 < a \le 4$ のとき、 $M = -2a - 1$