数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が、$S_n = 2n^2 + 5n$ で与えられているとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が、$S_n = 2n^2 + 5n$ で与えられているとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

一般項 $a_n$ は、和 $S_n$ を用いて以下のように求められます。

まず、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1}$

$S_n = 2n^2 + 5n$ なので、

$S_{n-1} = 2(n-1)^2 + 5(n-1) = 2(n^2 - 2n + 1) + 5n - 5 = 2n^2 - 4n + 2 + 5n - 5 = 2n^2 + n - 3$

したがって、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = (2n^2 + 5n) - (2n^2 + n - 3) = 2n^2 + 5n - 2n^2 - n + 3 = 4n + 3$

次に、$n=1$ のとき、$a_1 = S_1$ より、

$a_1 = S_1 = 2(1)^2 + 5(1) = 2 + 5 = 7$

$a_n = 4n + 3$ に $n=1$ を代入すると、$a_1 = 4(1) + 3 = 7$ となり、一致します。

よって、$a_n = 4n + 3$ は全ての $n$ で成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = 4n + 3$