$V$はベクトル空間、$W_1, W_2$は$V$の部分空間とする。$W_1 \cup W_2$が$V$の部分空間ならば、$W_1 \subseteq W_2$または$W_1 \supseteq W_2$となることを示す。

1. 問題の内容

$V$はベクトル空間、$W_1, W_2$は$V$の部分空間とする。$W_1 \cup W_2$が$V$の部分空間ならば、$W_1 \subseteq W_2$または$W_1 \supseteq W_2$となることを示す。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明する。つまり、$W_1 \not\subseteq W_2$ かつ $W_1 \not\supseteq W_2$ であると仮定する。

このとき、$W_1$に属するが$W_2$に属さないベクトル$x$と、$W_2$に属するが$W_1$に属さないベクトル$y$が存在する。つまり、$x \in W_1$, $x \notin W_2$ かつ $y \in W_2$, $y \notin W_1$。

$W_1 \cup W_2$が$V$の部分空間であると仮定したので、$x, y \in W_1 \cup W_2$ より、$x+y \in W_1 \cup W_2$。

したがって、$x+y \in W_1$ または $x+y \in W_2$ が成り立つ。

(i) $x+y \in W_1$ の場合：

$x \in W_1$ より、$W_1$ は部分空間なので、$(x+y) - x = y \in W_1$。

これは $y \notin W_1$ であるという仮定に矛盾する。

(ii) $x+y \in W_2$ の場合：

$y \in W_2$ より、$W_2$ は部分空間なので、$(x+y) - y = x \in W_2$。

これは $x \notin W_2$ であるという仮定に矛盾する。

いずれの場合も矛盾が生じるので、$W_1 \not\subseteq W_2$ かつ $W_1 \not\supseteq W_2$ という仮定が誤りである。

したがって、$W_1 \subseteq W_2$ または $W_1 \supseteq W_2$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$W_1 \subseteq W_2$ または $W_1 \supseteq W_2$