等式 $(i-\sqrt{3})^m = (1+i)^n$ を満たす自然数 $m, n$ のうち、$m$ が最小となるときの $m, n$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

等式 $(i-\sqrt{3})^m = (1+i)^n$ を満たす自然数 $m, n$ のうち、$m$ が最小となるときの $m, n$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

複素数の極形式表示を用いることで、指数の計算を容易にします。

まず、$i-\sqrt{3}$ と $1+i$ を極形式で表します。

$i - \sqrt{3} = 2(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1)$ とすると、

$\cos \theta_1 = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \sin \theta_1 = \frac{1}{2}$

よって、$\theta_1 = \frac{5}{6}\pi$

$1 + i = \sqrt{2}(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2)$ とすると、

$\cos \theta_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}, \sin \theta_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}$

よって、$\theta_2 = \frac{\pi}{4}$

したがって、

$i - \sqrt{3} = 2(\cos \frac{5}{6}\pi + i\sin \frac{5}{6}\pi)$

$1 + i = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4})$

与えられた等式 $(i-\sqrt{3})^m = (1+i)^n$ は、極形式で表すと

$[2(\cos \frac{5}{6}\pi + i\sin \frac{5}{6}\pi)]^m = [\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4})]^n$

ド・モアブルの定理より、

$2^m(\cos \frac{5m}{6}\pi + i\sin \frac{5m}{6}\pi) = (\sqrt{2})^n(\cos \frac{n}{4}\pi + i\sin \frac{n}{4}\pi)$

絶対値と偏角を比較すると、

$2^m = (\sqrt{2})^n = 2^{\frac{n}{2}}$

$\frac{5m}{6}\pi = \frac{n}{4}\pi + 2k\pi$ （$k$は整数）

$2^m = 2^{\frac{n}{2}}$ より、 $m = \frac{n}{2}$

$n = 2m$

$\frac{5m}{6} = \frac{n}{4} + 2k$ より、

$\frac{5m}{6} = \frac{2m}{4} + 2k = \frac{m}{2} + 2k$

$\frac{5m}{6} - \frac{m}{2} = 2k$

$\frac{5m - 3m}{6} = 2k$

$\frac{2m}{6} = 2k$

$\frac{m}{3} = 2k$

$m = 6k$

$m$ は自然数なので、$m$ が最小となるのは $k=1$ のとき。

このとき、$m = 6$

$n = 2m = 2 \cdot 6 = 12$

3. 最終的な答え

$m = 6, n = 12$