$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$、$\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$のとき、$\sin \alpha = \frac{2}{3}$、$\sin \beta = \frac{4}{5}$である。この条件のもとで、以下の値を求める。 (1) $\sin(\alpha - \beta)$ (2) $\cos(\alpha + \beta)$

1. 問題の内容

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$、$\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$のとき、$\sin \alpha = \frac{2}{3}$、$\sin \beta = \frac{4}{5}$である。この条件のもとで、以下の値を求める。

(1) $\sin(\alpha - \beta)$

(2) $\cos(\alpha + \beta)$

2. 解き方の手順

(1) $\sin(\alpha - \beta)$ を求める。

$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$ である。

$\sin \alpha = \frac{2}{3}$ より、$\cos \alpha$ を求める。$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より $\cos \alpha > 0$ なので、

$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\sin \beta = \frac{4}{5}$ より、$\cos \beta$ を求める。$\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ より $\cos \beta < 0$ なので、

$\cos \beta = -\sqrt{1 - \sin^2 \beta} = -\sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = -\sqrt{1 - \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$

したがって、

$\sin(\alpha - \beta) = \frac{2}{3} \cdot (-\frac{3}{5}) - \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{6}{15} - \frac{4\sqrt{5}}{15} = \frac{-6 - 4\sqrt{5}}{15}$

(2) $\cos(\alpha + \beta)$ を求める。

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ である。

$\cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$, $\cos \beta = -\frac{3}{5}$, $\sin \alpha = \frac{2}{3}$, $\sin \beta = \frac{4}{5}$ を代入して、

$\cos(\alpha + \beta) = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot (-\frac{3}{5}) - \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{3\sqrt{5}}{15} - \frac{8}{15} = \frac{-3\sqrt{5} - 8}{15}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin(\alpha - \beta) = \frac{-6 - 4\sqrt{5}}{15}$

(2) $\cos(\alpha + \beta) = \frac{-3\sqrt{5} - 8}{15}$