ある高校の1年生全員が長椅子に座る。1脚に6人ずつ座ると15人が座れない。1脚に7人ずつ座ると、使わない長椅子が3脚できる。長椅子の数は何脚以上何脚以下か？

1. 問題の内容

ある高校の1年生全員が長椅子に座る。1脚に6人ずつ座ると15人が座れない。1脚に7人ずつ座ると、使わない長椅子が3脚できる。長椅子の数は何脚以上何脚以下か？

2. 解き方の手順

まず、長椅子の数を $x$ 脚、生徒の数を $y$ 人とする。

* 6人ずつ座ると15人が座れないことから、以下の式が成り立つ。

$y = 6x + 15$

* 7人ずつ座ると使わない長椅子が3脚できる。これは、少なくとも $x-4$ 脚には7人座っており、残り1脚には誰も座っていないか、1人以上6人以下が座っている状態である。

したがって、以下の不等式が成り立つ。

$7(x-4) \leq y \leq 7(x-3)$

$x-4$ の椅子の数について7人ずつ座った場合を考えたとき、残りの生徒数は最大で7人座る椅子が3つできることから、$7(x-3)$ が生徒数の最大値になる。

* $y = 6x + 15$ を上記の不等式に代入して、$x$ の範囲を求める。

$7(x-4) \leq 6x + 15 \leq 7(x-3)$

まず、$7(x-4) \leq 6x + 15$ を解く。

$7x - 28 \leq 6x + 15$

$x \leq 43$

次に、$6x + 15 \leq 7(x-3)$ を解く。

$6x + 15 \leq 7x - 21$

$36 \leq x$

* したがって、$36 \leq x \leq 43$となる。

3. 最終的な答え

長椅子の数は36脚以上43脚以下である。