関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 5a - 6$ が与えられている。 (1) $y = f(x)$ のグラフ $C$ が $x$ 軸と異なる2点で交わるような $a$ の範囲を求める。 (2) $C$ と $x$ 軸の交点を $A, B$ とし、$A$ の $x$ 座標が $B$ の $x$ 座標より小さいとする。線分 $AB$ 上に点 $(-1, 0)$ があるための条件と、その時の $a$ の範囲を求める。 (3) 線分 $AB$ 上に点 $(-1, 0)$ があり、かつ線分 $AB$ の長さが $\sqrt{15}$ となるときの $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 5a - 6$ が与えられている。

(1) $y = f(x)$ のグラフ $C$ が $x$ 軸と異なる2点で交わるような $a$ の範囲を求める。

(2) $C$ と $x$ 軸の交点を $A, B$ とし、$A$ の $x$ 座標が $B$ の $x$ 座標より小さいとする。線分 $AB$ 上に点 $(-1, 0)$ があるための条件と、その時の $a$ の範囲を求める。

(3) 線分 $AB$ 上に点 $(-1, 0)$ があり、かつ線分 $AB$ の長さが $\sqrt{15}$ となるときの $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ の判別式 $D$ が $D > 0$ となる $a$ の範囲を求める。

$D = (-2a)^2 - 4(1)(5a-6) = 4a^2 - 20a + 24 = 4(a^2 - 5a + 6) = 4(a-2)(a-3)$.

$D > 0$ より、$(a-2)(a-3) > 0$。したがって、$a < 2$ または $3 < a$。

よって、アは 2, イは

3.

(2) 線分 $AB$ 上に点 $(-1, 0)$ があるための条件は $f(-1) \le 0$ である。

$f(-1) = (-1)^2 - 2a(-1) + 5a - 6 = 1 + 2a + 5a - 6 = 7a - 5$.

$f(-1) \le 0$ より $7a - 5 \le 0$, よって $a \le \frac{5}{7}$.

ただし、$a < 2$ かつ $3 < a$ を満たす必要があるので、$a \le \frac{5}{7}$。

よって、ウは $\frac{5}{7}$.

(3) 線分 $AB$ 上に点 $(-1, 0)$ があり、線分 $AB$ の長さが $\sqrt{15}$ であるとする。

$AB = |x_B - x_A| = \sqrt{(x_A + x_B)^2 - 4x_Ax_B}$

$x_A + x_B = 2a$

$x_Ax_B = 5a - 6$

$AB = \sqrt{(2a)^2 - 4(5a-6)} = \sqrt{4a^2 - 20a + 24} = \sqrt{15}$.

$4a^2 - 20a + 24 = 15$,

$4a^2 - 20a + 9 = 0$.

$(2a - 1)(2a - 9) = 0$,

$a = \frac{1}{2}$ または $a = \frac{9}{2}$.

$a \le \frac{5}{7}$ である必要があるので、$a = \frac{1}{2}$.

よって、オは 1, カは

2.

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 3

ウ: $\frac{5}{7}$

オ: 1

カ: 2