問題は、関数 $y = -x^2 + ax + b$ で表される放物線 C が点 (1, 13) を通るという条件の下で、以下の値を求めるものです。 * a の値 * C と x 軸の交点 A, B の座標 * 点 D(t, 0) と E(t+2, 0) が線分 AB 上にあるような t の範囲 * 点 F(t, f(t)) と G(t+2, f(t+2)) を取るとき、四角形 DFGE の面積の最大値

1. 問題の内容

問題は、関数 $y = -x^2 + ax + b$ で表される放物線 C が点 (1, 13) を通るという条件の下で、以下の値を求めるものです。

* a の値

* C と x 軸の交点 A, B の座標

* 点 D(t, 0) と E(t+2, 0) が線分 AB 上にあるような t の範囲

* 点 F(t, f(t)) と G(t+2, f(t+2)) を取るとき、四角形 DFGE の面積の最大値

2. 解き方の手順

1. 放物線 C が点 (1, 13) を通ることから、a と b の関係式を求めます。

$13 = -1^2 + a(1) + b$ より、

$b = 14 - a$

2. 放物線 C と x 軸の交点は、$y = 0$ となる点なので、

$-x^2 + ax + (14 - a) = 0$

$x^2 - ax - (14 - a) = 0$

解の公式より、

$x = \frac{a \pm \sqrt{a^2 + 4(14 - a)}}{2} = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 4a + 56}}{2}$

よって、A, B の x 座標は $\frac{a - \sqrt{a^2 - 4a + 56}}{2}$ と $\frac{a + \sqrt{a^2 - 4a + 56}}{2}$ となります。

3. $a^2-4a+56 = (a-2)^2 + 52$ なので、これが平方数になるように a を調整します。問題文に「Cが点 (1,13) を通る場合を考える。a=キ」とあるので、a が整数になることを想定して、この式が簡単な平方数になるようにします。$a=2$のとき、$a^2-4a+56=52$、$a=3$のとき、$a^2-4a+56 = 9-12+56=53$、$a=-1$のとき、$a^2-4a+56=1+4+56=61$、$a=1$のとき、$a^2-4a+56=1-4+56=53$となります。問題文のCのx軸の交点の座標にルートが含まれることを考えると、$a^2-4a+56$ は平方数ではないと推測できます。

4. 問題文より、$a = キ$であり、$a$の値を入れて座標A, Bを求める必要があります。$C$が点$(1,13)$を通ることを利用し、$y = -x^2 +ax+b$に$(1,13)$を代入すると、$13 = -1 + a + b$よって、$b = 14-a$となる。この時、Cと$x$軸の共有店は$y=0$より、$-x^2+ax+14-a = 0$となる。

$x = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4(-1)(14-a)}}{-2} = \frac{a \pm \sqrt{a^2+56-4a}}{2}$

$A = (\frac{a - \sqrt{a^2-4a+56}}{2}, 0)$, $B = (\frac{a + \sqrt{a^2-4a+56}}{2}, 0)$である。

5. 問題文に数値が入るように、キ= 6 と仮定する。

a = 6 の場合、

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24 + 56}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} = 3 \pm \sqrt{17}$

A の座標は $(3 - \sqrt{17}, 0)$, B の座標は $(3 + \sqrt{17}, 0)$。

6. D(t, 0), E(t+2, 0) が線分 AB 上にある条件は、

$3 - \sqrt{17} < t < 3 + \sqrt{17}$ かつ $3 - \sqrt{17} < t + 2 < 3 + \sqrt{17}$。

$3 - \sqrt{17} < t < 3 + \sqrt{17}$ かつ $1 - \sqrt{17} < t < 1 + \sqrt{17}$。

$3 - \sqrt{17} \approx 3 - 4.12 = -1.12$, $1 + \sqrt{17} \approx 1 + 4.12 = 5.12$, $1 - \sqrt{17} \approx -3.12$.

よって、$3 - \sqrt{17} < t < 1 + \sqrt{17}$。

四角形 DFGE の面積は、$S = 2 \times \frac{f(t) + f(t+2)}{2} = f(t) + f(t+2)$。

$f(t) = -t^2 + 6t + 8$, $f(t+2) = -(t+2)^2 + 6(t+2) + 8 = -t^2 - 4t - 4 + 6t + 12 + 8 = -t^2 + 2t + 16$。

$S = -2t^2 + 8t + 24 = -2(t^2 - 4t) + 24 = -2(t - 2)^2 + 8 + 24 = -2(t - 2)^2 + 32$。

$t = 2$ のとき、S は最大値 32 を取る。このとき、$3 - \sqrt{17} < 2 < 1 + \sqrt{17}$。

3. 最終的な答え

キ = 6

A の座標: (3 - sqrt(17), 0)

B の座標: (3 + sqrt(17), 0)

t の範囲: 3 - sqrt(17) < t < 1 + sqrt(17)

四角形 DFGE の面積の最大値: 32