$a = \frac{2}{3+\sqrt{7}}$ および $b = \frac{2}{3-\sqrt{7}}$ であるとき、$ab$, $a+b$, $a^2+b^2$, $\frac{b}{a}$, $b^4 + \frac{16}{b^4}$, $b^4 - \frac{16}{b^4}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$a = \frac{2}{3+\sqrt{7}}$ および $b = \frac{2}{3-\sqrt{7}}$ であるとき、$ab$, $a+b$, $a^2+b^2$, $\frac{b}{a}$, $b^4 + \frac{16}{b^4}$, $b^4 - \frac{16}{b^4}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a$と$b$をそれぞれ有理化します。

$a = \frac{2}{3+\sqrt{7}} = \frac{2(3-\sqrt{7})}{(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})} = \frac{2(3-\sqrt{7})}{9-7} = \frac{2(3-\sqrt{7})}{2} = 3-\sqrt{7}$

$b = \frac{2}{3-\sqrt{7}} = \frac{2(3+\sqrt{7})}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})} = \frac{2(3+\sqrt{7})}{9-7} = \frac{2(3+\sqrt{7})}{2} = 3+\sqrt{7}$

次に、$ab$を計算します。

$ab = (3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7}) = 9 - 7 = 2$

次に、$a+b$を計算します。

$a+b = (3-\sqrt{7}) + (3+\sqrt{7}) = 6$

次に、$a^2+b^2$を計算します。

$a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 6^2 - 2(2) = 36 - 4 = 32$

次に、$\frac{ab}{b}$を計算します。

$\frac{ab}{b} = a$ であるから、 これは問題ないです。

次に、$b^4 + \frac{16}{b^4}$ と $b^4 - \frac{16}{b^4}$ を計算します。

まず、$b^2 = (3+\sqrt{7})^2 = 9 + 6\sqrt{7} + 7 = 16 + 6\sqrt{7}$

$b^4 = (16+6\sqrt{7})^2 = 256 + 192\sqrt{7} + 36(7) = 256 + 192\sqrt{7} + 252 = 508 + 192\sqrt{7}$

$\frac{16}{b^4} = \frac{16}{508 + 192\sqrt{7}} = \frac{16(508-192\sqrt{7})}{(508 + 192\sqrt{7})(508 - 192\sqrt{7})} = \frac{16(508 - 192\sqrt{7})}{508^2 - 192^2(7)} = \frac{16(508 - 192\sqrt{7})}{258064 - 258048} = \frac{16(508 - 192\sqrt{7})}{16} = 508 - 192\sqrt{7}$

$b^4 + \frac{16}{b^4} = (508 + 192\sqrt{7}) + (508 - 192\sqrt{7}) = 1016$

$b^4 - \frac{16}{b^4} = (508 + 192\sqrt{7}) - (508 - 192\sqrt{7}) = 384\sqrt{7}$

3. 最終的な答え

$ab = 2$

$a+b = 6$

$a^2+b^2 = 32$

$\frac{ab}{b}=a$

$b^4 + \frac{16}{b^4} = 1016$

$b^4 - \frac{16}{b^4} = 384\sqrt{7}$