関数 $y = (-x^2 + 2x)^2 - 4(-x^2 + 2x) + 6$ が与えられている。$t = -x^2 + 2x$ とおいたとき、$t$ のとりうる値の範囲を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = (-x^2 + 2x)^2 - 4(-x^2 + 2x) + 6$ が与えられている。$t = -x^2 + 2x$ とおいたとき、$t$ のとりうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$t = -x^2 + 2x$ を変形して、平方完成の形にする。

$t = -(x^2 - 2x)$

$t = -(x^2 - 2x + 1 - 1)$

$t = -(x - 1)^2 + 1$

これは、上に凸の放物線で、頂点が $(1, 1)$ である。

したがって、$t$ の最大値は 1 である。

$x$ に制約がないため、$x$ はすべての実数値をとれるので、$t$ は $-\infty$ まで小さくなることができる。

3. 最終的な答え

$t \leq 1$