(a) 与えられた連立一次方程式 $\begin{cases} 3x + 5y = 1 \\ x + 2y = -1 \end{cases}$ を、2x2 行列 $A$ を用いて $Ax = b$ の形で表す。ただし、$x = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $b = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ である。 (b) 行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求め、連立一次方程式の解 $x = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を求める。

1. 問題の内容

(a) 与えられた連立一次方程式 $\begin{cases} 3x + 5y = 1 \\ x + 2y = -1 \end{cases}$ を、2x2 行列 $A$ を用いて $Ax = b$ の形で表す。ただし、$x = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $b = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ である。

(b) 行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求め、連立一次方程式の解 $x = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を求める。

2. 解き方の手順

(a) 連立一次方程式を行列で表現する。

行列 $A$ は $x$ と $y$ の係数から構成され、ベクトル $b$ は方程式の右辺を表す。

したがって、$A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ となる。

よって、$Ax = b$ は $\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ と表せる。

(b) 2x2 行列の逆行列を求める。

行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ は、$\text{det}(A) = ad - bc$ とすると、

$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ で与えられる。

この問題の行列 $A$ は $\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ なので、$\text{det}(A) = (3)(2) - (5)(1) = 6 - 5 = 1$ となる。

したがって、$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ である。

連立一次方程式の解を求める。

$Ax = b$ の両辺に左から $A^{-1}$ を掛けると、$A^{-1}Ax = A^{-1}b$ となり、$x = A^{-1}b$ が得られる。

$x = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2)(1) + (-5)(-1) \\ (-1)(1) + (3)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 5 \\ -1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -4 \end{pmatrix}$ となる。

3. 最終的な答え

(a) $Ax = b$ の形で表すと: $\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

(b) 逆行列 $A^{-1}$: $A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

解 $x$: $x = \begin{pmatrix} 7 \\ -4 \end{pmatrix}$