複素数の式 $\frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i} - \frac{\sqrt{3}-i}{\sqrt{3}+i}$ を計算します。

1. 問題の内容

複素数の式 $\frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i} - \frac{\sqrt{3}-i}{\sqrt{3}+i}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、各項をそれぞれ有理化します。

$\frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i}$ の分母を有理化するために、分母の共役複素数である $\sqrt{3}+i$ を分母と分子にかけます。

$$\frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i} = \frac{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}+i)}{(\sqrt{3}-i)(\sqrt{3}+i)} = \frac{3 + 2\sqrt{3}i - 1}{3 + 1} = \frac{2 + 2\sqrt{3}i}{4} = \frac{1 + \sqrt{3}i}{2}$$

次に、$\frac{\sqrt{3}-i}{\sqrt{3}+i}$ の分母を有理化するために、分母の共役複素数である $\sqrt{3}-i$ を分母と分子にかけます。

$$\frac{\sqrt{3}-i}{\sqrt{3}+i} = \frac{(\sqrt{3}-i)(\sqrt{3}-i)}{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)} = \frac{3 - 2\sqrt{3}i - 1}{3 + 1} = \frac{2 - 2\sqrt{3}i}{4} = \frac{1 - \sqrt{3}i}{2}$$

したがって、

$$\frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i} - \frac{\sqrt{3}-i}{\sqrt{3}+i} = \frac{1 + \sqrt{3}i}{2} - \frac{1 - \sqrt{3}i}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}i - (1 - \sqrt{3}i)}{2} = \frac{2\sqrt{3}i}{2} = \sqrt{3}i$$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}i$