平面上の点 $(x, y)$ を縦ベクトル $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ で表す。行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ が与えられている。行列 $B$ による変換は、直線 $y=x$ についての折り返し（線対称変換）である。 (1) 行列 $A$ による変換はどのような変換か、適切な用語を用いて表現する。 (2) 点 $\mathbf{a}$ を $A$ で変換し、引き続き $B$ で変換した点を $\mathbf{a}_1$ とする。また点 $\mathbf{a}$ を $B$ で変換し、引き続き $A$ で変換した点を $\mathbf{a}_2$ とする。行列 $A$ と $B$、それぞれによる変換の図形的意味に即して、$\mathbf{a}_1$ と $\mathbf{a}_2$ を図に作図する。 (3) 積 $AB$ と $BA$ をそれぞれ計算し、$AB \neq BA$ を確かめる。 (4) (3) の結果を (2) の結果を使って説明する。

1. 問題の内容

平面上の点 $(x, y)$ を縦ベクトル $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ で表す。行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ が与えられている。行列 $B$ による変換は、直線 $y=x$ についての折り返し（線対称変換）である。

(1) 行列 $A$ による変換はどのような変換か、適切な用語を用いて表現する。

(2) 点 $\mathbf{a}$ を $A$ で変換し、引き続き $B$ で変換した点を $\mathbf{a}_1$ とする。また点 $\mathbf{a}$ を $B$ で変換し、引き続き $A$ で変換した点を $\mathbf{a}_2$ とする。行列 $A$ と $B$、それぞれによる変換の図形的意味に即して、$\mathbf{a}_1$ と $\mathbf{a}_2$ を図に作図する。

(3) 積 $AB$ と $BA$ をそれぞれ計算し、$AB \neq BA$ を確かめる。

(4) (3) の結果を (2) の結果を使って説明する。

2. 解き方の手順

(1)

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ による変換を考える。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix}$

これは、$x$ 軸に関する折り返し（線対称変換）を表す。

(2)

$\mathbf{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とする。

まず、$\mathbf{a}$ を $A$ で変換すると $A\mathbf{a} = \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix}$ となる。

次に、$A\mathbf{a}$ を $B$ で変換すると $\mathbf{a}_1 = BA\mathbf{a} = B(A\mathbf{a}) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix}$ となる。

一方、$\mathbf{a}$ を $B$ で変換すると $B\mathbf{a} = \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}$ となる。

次に、$B\mathbf{a}$ を $A$ で変換すると $\mathbf{a}_2 = AB\mathbf{a} = A(B\mathbf{a}) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y \\ -x \end{pmatrix}$ となる。

図に $\mathbf{a}_1$ と $\mathbf{a}_2$ を書き込む。

(3)

$AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

よって、$AB \neq BA$ である。

(4)

(2) の結果から、$\mathbf{a}_1 = BA\mathbf{a} = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix}$ であり、$\mathbf{a}_2 = AB\mathbf{a} = \begin{pmatrix} y \\ -x \end{pmatrix}$ である。

$AB\mathbf{a} \neq BA\mathbf{a}$ なので、$AB \neq BA$ である。

$AB$ は反時計回りに90度回転させた後、$x$軸について線対称変換する。

$BA$ は$x$軸について線対称変換した後、直線 $y=x$ について線対称変換する。

3. 最終的な答え

(1) $x$ 軸に関する折り返し（線対称変換）

(2) 図は省略。

(3) $AB = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$、 $BA = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$。 $AB \neq BA$

(4) (2) の結果から、$AB\mathbf{a} \neq BA\mathbf{a}$ なので、$AB \neq BA$ である。