$V$ はベクトル空間であり、$W_1$ と $W_2$ は $V$ の部分空間である。$W_1 \cup W_2$ が $V$ の部分空間ならば、$W_1 \subseteq W_2$ または $W_1 \supseteq W_2$ であることを示す。

1. 問題の内容

$V$ はベクトル空間であり、$W_1$ と $W_2$ は $V$ の部分空間である。$W_1 \cup W_2$ が $V$ の部分空間ならば、$W_1 \subseteq W_2$ または $W_1 \supseteq W_2$ であることを示す。

2. 解き方の手順

背理法を用いる。

$W_1 \subseteq W_2$ でも $W_1 \supseteq W_2$ でもないと仮定する。つまり、$W_1 \nsubseteq W_2$ かつ $W_1 \nsupseteq W_2$ であると仮定する。

$W_1 \nsubseteq W_2$ より、$W_1$ に属するが $W_2$ に属さないベクトル $w_1$ が存在する。すなわち、$w_1 \in W_1$ かつ $w_1 \notin W_2$。

同様に、$W_1 \nsupseteq W_2$ より、$W_2$ に属するが $W_1$ に属さないベクトル $w_2$ が存在する。すなわち、$w_2 \in W_2$ かつ $w_2 \notin W_1$。

ここで、$W_1 \cup W_2$ が $V$ の部分空間であるという仮定を用いる。

$w_1 \in W_1 \cup W_2$ かつ $w_2 \in W_1 \cup W_2$ より、$w_1 + w_2 \in W_1 \cup W_2$ でなければならない (部分空間の定義より)。

したがって、$w_1 + w_2 \in W_1$ または $w_1 + w_2 \in W_2$ のいずれかが成り立つ。

(i) $w_1 + w_2 \in W_1$ の場合：

このとき、$w_2 = (w_1 + w_2) - w_1$ と書ける。$w_1 + w_2 \in W_1$ かつ $w_1 \in W_1$ であり、$W_1$ は部分空間なので、$w_2 \in W_1$ となる。これは、$w_2 \notin W_1$ という仮定に矛盾する。

(ii) $w_1 + w_2 \in W_2$ の場合：

このとき、$w_1 = (w_1 + w_2) - w_2$ と書ける。$w_1 + w_2 \in W_2$ かつ $w_2 \in W_2$ であり、$W_2$ は部分空間なので、$w_1 \in W_2$ となる。これは、$w_1 \notin W_2$ という仮定に矛盾する。

いずれの場合も矛盾が生じるため、$W_1 \nsubseteq W_2$ かつ $W_1 \nsupseteq W_2$ という仮定が誤りである。

したがって、$W_1 \subseteq W_2$ または $W_1 \supseteq W_2$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$W_1 \subseteq W_2$ または $W_1 \supseteq W_2$ が成り立つ。