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与えられた行列式を計算し、$ (a-b)(b-c)(c-a) $ に等しいことを証明する問題です。 行列式は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} $

代数学行列式行列因数分解多項式
2025/6/7

1. 問題の内容

与えられた行列式を計算し、(a−b)(b−c)(c−a) (a-b)(b-c)(c-a) に等しいことを証明する問題です。
行列式は以下の通りです。
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
a & b & c \\
a^2 & b^2 & c^2
\end{vmatrix}

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行列の性質を利用して計算を簡略化します。
まず、1列目から2列目を引き、1列目から3列目を引きます。
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
a & b & c \\
a^2 & b^2 & c^2
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
1-1 & 1 & 1 \\
a-b & b & c \\
a^2-b^2 & b^2 & c^2
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
0 & 1 & 1 \\
a-b & b & c \\
(a-b)(a+b) & b^2 & c^2
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
0 & 1 & 1 \\
a-b & b & c \\
(a-b)(a+b) & b^2 & c^2
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
0 & 1-1 & 1 \\
a-b & b-c & c \\
(a-b)(a+b) & b^2-c^2 & c^2
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
0 & 0 & 1 \\
a-b & b-c & c \\
(a-b)(a+b) & (b-c)(b+c) & c^2
\end{vmatrix}
次に、1行目に関して余因子展開を行います。
\begin{vmatrix}
0 & 0 & 1 \\
a-b & b-c & c \\
(a-b)(a+b) & (b-c)(b+c) & c^2
\end{vmatrix}
= 1 \times
\begin{vmatrix}
a-b & b-c \\
(a-b)(a+b) & (b-c)(b+c)
\end{vmatrix}
行列式を計算します。
\begin{vmatrix}
a-b & b-c \\
(a-b)(a+b) & (b-c)(b+c)
\end{vmatrix}
= (a-b)(b-c)(b+c) - (b-c)(a-b)(a+b) \\
= (a-b)(b-c)[(b+c) - (a+b)] \\
= (a-b)(b-c)(c-a)

3. 最終的な答え

したがって、
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
a & b & c \\
a^2 & b^2 & c^2
\end{vmatrix}
= (a-b)(b-c)(c-a)

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