実数 $x$ に関する2つの条件 $p: |x-5| < 2$ と $q: |ax-3| > 2$ が与えられています。ただし、$a$ は正の定数です。 (1) $a=2$ のとき、 $|ax-3| > 2$ を解き、$x$ の範囲を求めます。さらに、$p$ が $q$ であるための必要条件、十分条件のどれに該当するかを判定します。 (2) 条件 $p$ かつ $q$ を満たす $x$ が存在しないような $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

実数 $x$ に関する2つの条件 $p: |x-5| < 2$ と $q: |ax-3| > 2$ が与えられています。ただし、$a$ は正の定数です。

(1) $a=2$ のとき、 $|ax-3| > 2$ を解き、$x$ の範囲を求めます。さらに、$p$ が $q$ であるための必要条件、十分条件のどれに該当するかを判定します。

(2) 条件 $p$ かつ $q$ を満たす $x$ が存在しないような $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$|x-5| < 2$ を解きます。

$-2 < x-5 < 2$

$3 < x < 7$

したがって、シ$=3$, ス$=7$

(1) $a=2$ のとき、$|2x-3| > 2$ を解きます。

$2x-3 > 2$ または $2x-3 < -2$

$2x > 5$ または $2x < 1$

$x > \frac{5}{2}$ または $x < \frac{1}{2}$

したがって、セ$=1$, ソ$=2$, タ$=5$, チ$=2$

つまり、$x < \frac{1}{2}, \frac{5}{2} < x$

$p: 3 < x < 7$

$q: x < \frac{1}{2}, \frac{5}{2} < x$

$p$ が $q$ であるためには、$3 < x < 7$ ならば $x < \frac{1}{2}$ または $\frac{5}{2} < x$ である必要があります。これは成り立ちません。

$q$ が $p$ であるためには、$x < \frac{1}{2}$ または $\frac{5}{2} < x$ ならば $3 < x < 7$ である必要があります。これも成り立ちません。

したがって、$p$ は $q$ であるための必要条件でも十分条件でもありません。

ツの解答は③。

(2) $p$ かつ $q$ を満たす $x$ が存在しないということは、$p$ の範囲と $q$ の範囲が重ならないということです。

$p: 3 < x < 7$

$q: ax-3 > 2$ または $ax-3 < -2$

$ax > 5$ または $ax < 1$

$a > 0$ なので、$x > \frac{5}{a}$ または $x < \frac{1}{a}$

$p$ と $q$ が共通部分を持たない条件を考えます。

(i) $3 \ge \frac{1}{a}$ かつ $7 \le \frac{5}{a}$ のとき、$p$と$q$は共通部分を持ちません。

$a \ge \frac{1}{3}$ かつ $a \le \frac{5}{7}$

$\frac{1}{3} \le a \le \frac{5}{7}$

(ii) $\frac{5}{a} \ge 7$ かつ $\frac{1}{a} \le 3$ のとき、$p$と$q$は共通部分を持ちません。

$a \le \frac{5}{7}$ かつ $a \ge \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} \le a \le \frac{5}{7}$

以上より、$p$ かつ $q$ を満たす $x$ が存在しないような $a$ の値の範囲は、

$\frac{1}{3} \le a \le \frac{5}{7}$

したがって、テ$=1$, ト$=3$, ナ$=5$, ニ$=7$

3. 最終的な答え

シ: 3

ス: 7

セ: 1

ソ: 2

タ: 5

チ: 2

ツ: 3

テ: 1

ト: 3

ナ: 5

ニ: 7

したがって、

$3 < x < 7$

$x < \frac{1}{2}$ または $\frac{5}{2} < x$

$p$ は $q$ であるための必要条件でも十分条件でもない

$\frac{1}{3} \le a \le \frac{5}{7}$