与えられた3x3行列 $ \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ -5 & 7 & 2 \\ 9 & 11 & 5 \end{pmatrix} $ の逆行列を求めます。

1. 問題の内容

与えられた3x3行列

$$

\begin{pmatrix}

3 & 2 & 1 \\

-5 & 7 & 2 \\

9 & 11 & 5

\end{pmatrix}

$$

の逆行列を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列を$A$とおきます。

$$

A = \begin{pmatrix}

3 & 2 & 1 \\

-5 & 7 & 2 \\

9 & 11 & 5

\end{pmatrix}

$$

次に、行列$A$の行列式$det(A)$を計算します。

$$

det(A) = 3(7 \cdot 5 - 2 \cdot 11) - 2(-5 \cdot 5 - 2 \cdot 9) + 1(-5 \cdot 11 - 7 \cdot 9) \\

= 3(35 - 22) - 2(-25 - 18) + (-55 - 63) \\

= 3(13) - 2(-43) + (-118) \\

= 39 + 86 - 118 \\

= 125 - 118 \\

= 7

$$

行列式$det(A)$は7です。

次に、余因子行列$C$を計算します。

$$

C_{11} = 7 \cdot 5 - 2 \cdot 11 = 35 - 22 = 13 \\

C_{12} = -(-5 \cdot 5 - 2 \cdot 9) = -(-25 - 18) = 43 \\

C_{13} = -5 \cdot 11 - 7 \cdot 9 = -55 - 63 = -118 \\

C_{21} = -(2 \cdot 5 - 1 \cdot 11) = -(10 - 11) = 1 \\

C_{22} = 3 \cdot 5 - 1 \cdot 9 = 15 - 9 = 6 \\

C_{23} = -(3 \cdot 11 - 2 \cdot 9) = -(33 - 18) = -15 \\

C_{31} = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 7 = 4 - 7 = -3 \\

C_{32} = -(3 \cdot 2 - 1 \cdot (-5)) = -(6 + 5) = -11 \\

C_{33} = 3 \cdot 7 - 2 \cdot (-5) = 21 + 10 = 31

$$

したがって、余因子行列$C$は

$$

C = \begin{pmatrix}

13 & 43 & -118 \\

1 & 6 & -15 \\

-3 & -11 & 31

\end{pmatrix}

$$

次に、余因子行列の転置行列（随伴行列）$adj(A) = C^T$を計算します。

$$

adj(A) = \begin{pmatrix}

13 & 1 & -3 \\

43 & 6 & -11 \\

-118 & -15 & 31

\end{pmatrix}

$$

最後に、逆行列$A^{-1}$を計算します。

$$

A^{-1} = \frac{1}{det(A)}adj(A) = \frac{1}{7}\begin{pmatrix}

13 & 1 & -3 \\

43 & 6 & -11 \\

-118 & -15 & 31

\end{pmatrix}

= \begin{pmatrix}

13/7 & 1/7 & -3/7 \\

43/7 & 6/7 & -11/7 \\

-118/7 & -15/7 & 31/7

\end{pmatrix}

$$

3. 最終的な答え

$$

A^{-1} = \begin{pmatrix}

13/7 & 1/7 & -3/7 \\

43/7 & 6/7 & -11/7 \\

-118/7 & -15/7 & 31/7

\end{pmatrix}

$$