与えられた行列式を計算し、その結果が$(a-b)(b-c)(c-a)$と等しくなることを証明する問題です。具体的には、以下の等式を証明します。 $ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} = (a-b)(b-c)(c-a) $

1. 問題の内容

与えられた行列式を計算し、その結果が$(a-b)(b-c)(c-a)$と等しくなることを証明する問題です。具体的には、以下の等式を証明します。

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} = (a-b)(b-c)(c-a)$

2. 解き方の手順

行列式の計算には、行または列の性質を利用して、行列式の値を簡単に求める方法があります。今回は、行に関する操作を行います。

まず、第2列から第1列を引きます。

$\begin{vmatrix} 1 & 1-1 & 1 \\ a & b-a & c \\ a^2 & b^2-a^2 & c^2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ a & b-a & c \\ a^2 & b^2-a^2 & c^2 \end{vmatrix}$

次に、第3列から第1列を引きます。

$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1-1 \\ a & b-a & c-a \\ a^2 & b^2-a^2 & c^2-a^2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & b-a & c-a \\ a^2 & b^2-a^2 & c^2-a^2 \end{vmatrix}$

この行列式は、第1行に関して展開することで計算できます。

$\begin{vmatrix} b-a & c-a \\ b^2-a^2 & c^2-a^2 \end{vmatrix}$

$b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)$と$c^2 - a^2 = (c-a)(c+a)$であることを用いて、この行列式を計算します。

$(b-a)(c^2-a^2) - (c-a)(b^2-a^2) = (b-a)(c-a)(c+a) - (c-a)(b-a)(b+a)$

$(b-a)(c-a)$を共通因数としてくくり出します。

$(b-a)(c-a) [(c+a) - (b+a)] = (b-a)(c-a)(c+a-b-a) = (b-a)(c-a)(c-b)$

最後に、$(b-a)(c-a)(c-b)$を並び替えて、$(a-b)(b-c)(c-a)$とします。

$(b-a) = -(a-b)$

$(c-b) = -(b-c)$

$(c-a) = (c-a)$

したがって、

$(b-a)(c-a)(c-b) = -(a-b)(c-a) \cdot -(b-c) = (a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} = (a-b)(b-c)(c-a)$