縦$p$m、横$2p$mの長方形の土地の周りに幅$a$mの道路がある。道路の面積を$S$m$^2$, 道路の真ん中を通る線の長さを$l$mとする。 (1) $S$を$p, a$で表す。 (2) (1)で求めた$S$の式を$a$でくくり出す。 (3) $l$を$p, a$で表す。 (4) $S$を$a, l$で表す。

1. 問題の内容

縦$p$m、横$2p$mの長方形の土地の周りに幅$a$mの道路がある。道路の面積を$S$m$^2$, 道路の真ん中を通る線の長さを$l$mとする。

(1) $S$を$p, a$で表す。

(2) (1)で求めた$S$の式を$a$でくくり出す。

(3) $l$を$p, a$で表す。

(4) $S$を$a, l$で表す。

2. 解き方の手順

(1) 道路を含めた全体の長方形の縦の長さは$p+2a$、横の長さは$2p+2a$である。道路の面積は、全体の長方形の面積から土地の面積を引いたものであるから、

$S = (p+2a)(2p+2a) - (p)(2p)$

$= 2p^2 + 2ap + 4ap + 4a^2 - 2p^2$

$= 6ap + 4a^2$

(2) (1)で求めた$S$の式を$a$でくくり出すと、

$S = 6ap + 4a^2 = 2a(3p+2a)$

(3) 道路の真ん中を通る線の長さは、縦の長さが$p+a$、横の長さが$2p+a$の長方形の周の長さに等しいから、

$l = 2(p+a) + 2(2p+a)$

$= 2p+2a+4p+2a$

$= 6p + 4a$

(4) (3)より、 $l=6p+4a$なので、 $S = 6ap + 4a^2 = a(6p+4a) = al$.

3. 最終的な答え

(1) $S = 6ap + 4a^2$

(2) $S = 2a(3p + 2a)$

(3) $l = 6p + 4a$

(4) $S = al$