三角形ABCにおいて、点Qは辺ACを2:3に内分し、点Rは辺ABを1:2に内分します。このとき、線分COと線分ORの比CO:ORを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qは辺ACを2:3に内分し、点Rは辺ABを1:2に内分します。このとき、線分COと線分ORの比CO:ORを求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理、メネラウスの定理、またはベクトルのいずれかを用いて解くことができます。ここではベクトルを用いて解きます。

$\vec{OA}=\vec{a}$, $\vec{OB}=\vec{b}$, $\vec{OC}=\vec{c}$とします。

点Rは辺ABを1:2に内分するので、

$\vec{OR} = \frac{2\vec{OA} + 1\vec{OB}}{1+2} = \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{3}$

点Qは辺ACを2:3に内分するので、

$\vec{OQ} = \frac{3\vec{OA} + 2\vec{OC}}{2+3} = \frac{3\vec{a} + 2\vec{c}}{5}$

点Oは線分AQ上にあるので、ある実数$s$を用いて

$\vec{AO} = s\vec{AQ} = s(\vec{OQ} - \vec{OA}) = s(\frac{3\vec{a} + 2\vec{c}}{5} - \vec{a}) = s(\frac{3\vec{a} + 2\vec{c} - 5\vec{a}}{5}) = s(\frac{-2\vec{a} + 2\vec{c}}{5})$

$\vec{OO} = \vec{OA} + \vec{AO} = \vec{a} + s(\frac{-2\vec{a} + 2\vec{c}}{5}) = (1-\frac{2s}{5})\vec{a} + \frac{2s}{5}\vec{c}$

点Oは線分BR上にあるので、ある実数$t$を用いて

$\vec{BO} = t\vec{BR} = t(\vec{OR} - \vec{OB}) = t(\frac{2\vec{a} + \vec{b}}{3} - \vec{b}) = t(\frac{2\vec{a} + \vec{b} - 3\vec{b}}{3}) = t(\frac{2\vec{a} - 2\vec{b}}{3})$

$\vec{OO} = \vec{OB} + \vec{BO} = \vec{b} + t(\frac{2\vec{a} - 2\vec{b}}{3}) = \frac{2t}{3}\vec{a} + (1-\frac{2t}{3})\vec{b}$

したがって、

$\vec{OO} = (1-\frac{2s}{5})\vec{a} + \frac{2s}{5}\vec{c} = \frac{2t}{3}\vec{a} + (1-\frac{2t}{3})\vec{b}$

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は一次独立なので、$1-\frac{2s}{5} = \frac{2t}{3}$, $\frac{2s}{5}=0$, $1-\frac{2t}{3} = 0$

しかし、$\frac{2s}{5}=0$を満たすと、$\vec{OO} = 0$となるので不適切。

次に、線分COを延長した直線と線分ABの交点をDとする。メネラウスの定理より、

$\frac{AR}{RB} \times \frac{BC}{CQ} \times \frac{QO}{OA} = 1$

$\frac{1}{2} \times \frac{5}{3} \times \frac{OA}{OC} = 1$

$\frac{1}{2} \times \frac{BC}{QA} = 1$

$\frac{AR}{RB} = \frac{1}{2}$, $\frac{AQ}{QC} = \frac{2}{3}$だから、$\frac{AC}{QC} = \frac{AQ+QC}{QC} = \frac{\frac{2}{5}AC + \frac{3}{5}AC}{\frac{3}{5}AC} = \frac{1}{\frac{3}{5}} = \frac{5}{3}$.

よって、$\frac{AR}{RB} \times \frac{BC}{CQ}$

したがって, $\vec{OC} = \mu \vec{OR}$

3. 最終的な答え

CO:OR = 2:1