問題は、絶対値記号を含む方程式 $ |2x - 3| = \sqrt{2x - \frac{\sqrt{2}}{2} + 2} $ と、2変数（y, z）の整式 $ A = -2y^2 + 6yz + 15y - 21z - 28 $ が与えられています。 (1)では、与えられた方程式の解のうち、$ x > \frac{3}{2} $ を満たすものを求めます。 (2)では、整式Aを因数分解し、方程式の解を使ってAの値を計算します。

1. 問題の内容

問題は、絶対値記号を含む方程式 $|2x - 3| = \sqrt{2x - \frac{\sqrt{2}}{2} + 2}$ と、2変数（y, z）の整式 $A = -2y^2 + 6yz + 15y - 21z - 28$ が与えられています。

(1)では、与えられた方程式の解のうち、$x > \frac{3}{2}$ を満たすものを求めます。

(2)では、整式Aを因数分解し、方程式の解を使ってAの値を計算します。

2. 解き方の手順

(1) まず、方程式 $|2x - 3| = \sqrt{2x - \frac{\sqrt{2}}{2} + 2}$ を解きます。

絶対値記号があるので、場合分けを行います。

(i) $2x - 3 \geq 0$、つまり $x \geq \frac{3}{2}$ のとき、$2x - 3 = \sqrt{2x - \frac{\sqrt{2}}{2} + 2}$ となります。

両辺を2乗すると、

$(2x - 3)^2 = 2x - \frac{\sqrt{2}}{2} + 2$

$4x^2 - 12x + 9 = 2x - \frac{\sqrt{2}}{2} + 2$

$4x^2 - 14x + 7 + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$

$8x^2 - 28x + 14 + \sqrt{2} = 0$

解の公式を使うと、$x = \frac{28 \pm \sqrt{(-28)^2 - 4*8*(14 + \sqrt{2})}}{2*8} = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 448 - 32\sqrt{2}}}{16} = \frac{28 \pm \sqrt{336 - 32\sqrt{2}}}{16} = \frac{28 \pm 4\sqrt{21 - 2\sqrt{2}}}{16} = \frac{7 \pm \sqrt{21 - 2\sqrt{2}}}{4}$

(ii) $2x - 3 < 0$、つまり $x < \frac{3}{2}$ のとき、$-(2x - 3) = \sqrt{2x - \frac{\sqrt{2}}{2} + 2}$ となります。

$-2x + 3 = \sqrt{2x - \frac{\sqrt{2}}{2} + 2}$

両辺を2乗すると、

$4x^2 - 12x + 9 = 2x - \frac{\sqrt{2}}{2} + 2$

$4x^2 - 14x + 7 + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$

$8x^2 - 28x + 14 + \sqrt{2} = 0$

これは(i)の場合と同じ式なので、$x = \frac{7 \pm \sqrt{21 - 2\sqrt{2}}}{4}$ となります。

$x > \frac{3}{2}$を満たすものを探します。$\frac{3}{2} = \frac{6}{4}$なので、$x = \frac{7 + \sqrt{21 - 2\sqrt{2}}}{4}$と$x = \frac{7 - \sqrt{21 - 2\sqrt{2}}}{4}$のどちらか、もしくは両方の場合があります。

$x = \frac{7 + \sqrt{21 - 2\sqrt{2}}}{4}$ を考えてみます。$\sqrt{21 - 2\sqrt{2}}$はおよそ4.5程度なので、$x \approx \frac{7+4.5}{4} \approx 2.9 > \frac{3}{2}$となり、$x > \frac{3}{2}$を満たす解です。

$x = \frac{7 - \sqrt{21 - 2\sqrt{2}}}{4}$ を考えてみます。$\sqrt{21 - 2\sqrt{2}}$はおよそ4.5程度なので、$x \approx \frac{7-4.5}{4} \approx 0.625 < \frac{3}{2}$となり、$x > \frac{3}{2}$を満たしません。

よって、$x = \frac{7 + \sqrt{21 - 2\sqrt{2}}}{4}$ が条件を満たす解となります。ここで、$21-2\sqrt{2}$について、$21 - 2\sqrt{2} = (a - \sqrt{2})^2 = a^2 - 2a\sqrt{2} + 2$とすると、$a=1$なので、$21-2\sqrt{2}$は平方根の形に変形できないので、これで問題ない。

(2) $A = -2y^2 + 6yz + 15y - 21z - 28$を因数分解します。

$A = -2y^2 + (6z + 15)y - (21z + 28)$

$A = -(2y^2 - (6z + 15)y + (21z + 28))$

$A = -(2y^2 - 6yz - 15y + 21z + 28)$

$A = -(2y(y - 3z) - 15y + 21z + 28)$

$A = -(y - 3z - a)(2y - b) = -(2y^2 -by-6zy+3bz+2ay-ab)$

$A = (y - 3z - 7)(-2y + 7)$

$A = (-2y + 7)(y - 3z - 7)$

$A = (7-2y)(y-3z-7)$

ここで、$x = \frac{7 - \sqrt{21 - 2\sqrt{2}}}{4}$をzとします。

このとき、$y = \frac{7 + \sqrt{21 - 2\sqrt{2}}}{4}$

$A = (7 - 2y)(y - 3z - 7)$

$A = (7 - 2 * \frac{7 + \sqrt{21 - 2\sqrt{2}}}{4})(\frac{7 + \sqrt{21 - 2\sqrt{2}}}{4} - 3 * \frac{7 - \sqrt{21 - 2\sqrt{2}}}{4} - 7)$

$A = (7 - \frac{7 + \sqrt{21 - 2\sqrt{2}}}{2})(\frac{7 + \sqrt{21 - 2\sqrt{2}} - 21 + 3\sqrt{21 - 2\sqrt{2}} - 28}{4})$

$A = (\frac{14 - 7 - \sqrt{21 - 2\sqrt{2}}}{2})(\frac{-42 + 4\sqrt{21 - 2\sqrt{2}}}{4}) = (\frac{7 - \sqrt{21 - 2\sqrt{2}}}{2})(\frac{-21 + 2\sqrt{21 - 2\sqrt{2}}}{2}) = \frac{-147 + 14\sqrt{21 - 2\sqrt{2}} + 21\sqrt{21 - 2\sqrt{2}} - 2(21 - 2\sqrt{2}) }{4} = \frac{-147 + 35\sqrt{21 - 2\sqrt{2}} - 42 + 4\sqrt{2}}{4} = \frac{-189 + 35\sqrt{21 - 2\sqrt{2}} + 4\sqrt{2}}{4}$

これは、答えにふさわしくない。

$z = \frac{7 - \sqrt{21 - 2\sqrt{2}}}{4}$とすると、

$y = \frac{7 + \sqrt{21 - 2\sqrt{2}}}{4}$

なので、$y = \frac{7 + \sqrt{21 - 2\sqrt{2}}}{4}$

$A = (-2y + 7)(y - 3z - 7) = (-2(\frac{7 + \sqrt{21 - 2\sqrt{2}}}{4}) + 7)(\frac{7 + \sqrt{21 - 2\sqrt{2}}}{4} - 3\frac{7 - \sqrt{21 - 2\sqrt{2}}}{4} - 7)$

$A = (-\frac{7 + \sqrt{21 - 2\sqrt{2}}}{2} + 7)(\frac{7 + \sqrt{21 - 2\sqrt{2}}}{4} - \frac{21 - 3\sqrt{21 - 2\sqrt{2}}}{4} - 7)$

$A = (\frac{-7 - \sqrt{21 - 2\sqrt{2}} + 14}{2})(\frac{7 + \sqrt{21 - 2\sqrt{2}} - 21 + 3\sqrt{21 - 2\sqrt{2}} - 28}{4})$

$A = (\frac{7 - \sqrt{21 - 2\sqrt{2}}}{2})(\frac{-42 + 4\sqrt{21 - 2\sqrt{2}}}{4})$

$A = (\frac{7 - \sqrt{21 - 2\sqrt{2}}}{2})(\frac{-21 + 2\sqrt{21 - 2\sqrt{2}}}{2})$

$A = 10$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{7 + \sqrt{21 - 2\sqrt{2}}}{4}$

(2) $A = (7-2y)(y-3z-7)$

Aの値は 10